Inversion de la transformée en Z poles simple réels multiple

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Inversion de la transformée en Z poles simple réels multiple

Messagepar celtic » Vendredi 18 Mai 2007, 18:51

Bonsoir
Toujours la meme demarche des exos précedent

$X_{(z)}=\dfrac{z+3}{(z-0.2)^2(z+0.5)}$


1. étape 1 : d = deg(dénominateur) – deg(numérateur) ⇒ en déduire le premier échantillon


$X(z)=\ds\sum_{k=0}^{+\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+\ldots+$

La différence des degrés est d = deg(dénominateur) – deg(numérateur)=3-1=2

ce qui fait que $x_0=0$ :?:

2. étape 2 : équation caractéristique, pôles de la TZ. En déduire l'allure de la solution (modes)



Les zéros sont $0.2$ et$-0,5$

notre signal à une forme $+C_1n0.2^n+C_2(-0.5)^n$ :idea:
celtic
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Re: Inversion de la transformée en Z poles simple réels mult

Messagepar kojak » Vendredi 18 Mai 2007, 19:13

bonsoir Celtic,
celtic a écrit:notre signal à une forme $+C_1n0.2^n+C_2(-0.5)^n$ :idea:

Presque : comme t'as un pole double $0.2$ ce terme te donne du $(C_1 n+C_2)\times 0.2^n$
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 14:34

Salut Kojak


On a un pole simple $z=-0.5$ et un pole double $z=0.2$

On a un signal de la forme

$(C_1 +C_2n)\times 0.2^n$


$z^{n-1}X_{(z)}=\dfrac{(z+3)z^{n-1}}{(z-0.2)^2(z+0.5)}$

Résidus en $z_1=-0,5$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{(z+0,5)(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2(z+0,5)}]_{z=-0,5}=[\dfrac{(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2}]_{z=-0,5}=\dfrac{-0.2}{0,49}.0,5^{(n-1)}$


et là le calcul commenceà etre compliqué :P

Résidus en $z=0.2$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{d}{dz}\dfrac{(z-0.2)(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2(z+0,5)}]_{z=-0,5}=[\dfrac{d}{dz}\dfrac{(z+3)z^{(n-1)}}{(z+0,5)}]_{z=0,2}$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{[z^{(n-1)}+(z+3)(n-1)(z^{n-1})](z+0,5)-(z+3)(z^{n-1})}{(z+0,5)^2}]_{z=0,2}$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= 1.428[0.2\times z^{n-1}(-2,2+3,2n)-0,2\times z^{n-1}]=1,428[3,2\times 0,2^{n-1}(n-1)]$
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 16:38

bonjour Celtic,
celtic a écrit:On a un signal de la forme

$(C_1 +C_2n)\times 0.2^n$
sans oublier le $C_3 (-0.5)^n$

celtic a écrit:Résidus en $z_1=-0,5$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= \ldots=\dfrac{-0.2}{0,49}.0,5^{(n-1)}$
ton numérateur n'est pas bon $-0.5+3=2.5$ :roll:

celtic a écrit:et là le calcul commenceà etre compliqué :P
c'est fait exprès :lol:

Et tu t'es trompé dans ton caclul de dérivée à la seconde ligne :
celtic a écrit:$=\dfrac{[z^{n-1}+(z+3)(n-1)z^{n-1}]\ldots}{(z+0.5)^2}$

c'est $[z^{n-1}+(z+3)(n-1)z^{n-2}]$ car la dérivée de $z^{n-1}$ est $(n-1)z^{n-2}$ dommage car tu étais bien parti :roll:
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 17:07

je reprends

Pour le premier résidus j'ai fait $0,3$ au lieu de $3$


Résidus en $z_1=-0,5$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{(z+0,5)(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2(z+0,5)}]_{z=-0,5}=[\dfrac{(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2}]_{z=-0,5}=\dfrac{2,5}{0,49}.0,5^{(n-1)}$


Résidus en $z=0.2$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{d}{dz}\dfrac{(z-0.2)(z+3)z^{(n-1)}}{(z-0,2)^2(z+0,5)}]_{z=-0,5}=[\dfrac{d}{dz}\dfrac{(z+3)z^{(n-1)}}{(z+0,5)}]_{z=0,2}$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{[z^{(n-1)}+(z+3)(n-1)(z^{n-2})](z+0,5)-(z+3)(z^{n-1})}{(z+0,5)^2}]_{z=0,2}$
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 17:09

Oui, c'est bon ce coup-ci : il n'y a plus qu'à remplacer $z$ par $0.2$ sans se tromper :wink:
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 17:32

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{[z^{(n-1)}+(z+3)(n-1)(z^{n-2})](z+0,5)-(z+3)(z^{n-1})}{(z+0,5)^2}]_{z=0,2}$

$X_{(z)}z^{(n-1)}=[\dfrac{[0,2^{n-1}+3,2.0,2^{n-2}(n-1)]0,7}{0,49}]-\dfrac{3,2}{0,49}0,2^{n-1} =\dfrac{0,14}{0,49}0,2^{n-1}+\dfrac{2,24}{0,49}0,2^ {n-2}(n-1)-\dfrac{3,2}{0,49}0,2^{n-1}$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= 4,57.0,2^ {n-2}(n-1)-6.34.0,2^{n-1}$
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 19:44

Le premier numérateur est incorrect : c'est $0.7$ au lieu de $0.14$ sinon le plus simple est d'essayer d'écrire le résultat sous la forme $(an+b)0.2^{n-2}$ car il est plus parlant....

A tchao
bonsoir :roll:
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