Intégration terme à terme d'une série de fonctions

par **othiprof** » Jeudi 20 Septembre 2018, 19:46

Bonsoir,
me voilà avec une nouvelle question : "Prouver que $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}$ ".
Alors, j'ai pensé à définir la suite de fonctions $(f_n)_{n \ge 1}$ par :
- pour tout $x$

de ]0, 1], $\displaystyle f_n(x)=\frac{(-x ln(x))^n}{n!}$
- pour $x=0$

,

Ainsi, les fonctions $f_n$

sont continues sur [0, 1], la série $\sum f_n$ converge normalement sur [0, 1] et, $\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} f_n(x)=e^{-xln(x)}=\frac{1}{x^x}$ .
J'ai donc : $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(x)dx$ .
Piou... D'une part, j'ai un problème d'indice, d'autre part, je ne parviens pas à calculer $\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x)dx=\int_{0}^{1} \frac{(-x ln(x))^n}{n!}dx$ .
Une bonne âme, quelque part, aurait-elle une idée ?

Formidable!
Grâce à ton idée, j'arrive à : $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^n}$
D'où : $\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx=\frac{1}{(n+1)^n}$
Et enfin : $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^x}dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^n}$
Ce qui ressemble furieusement à l'égalité qu'il fallait démontrer.
C'est ce problème d'indice... Avec mes $f_n$

qui ne sont définies qu'à partir de $n=1$

... Je ne sais pas, j'avoue que je ne vais pas y passer des heures non plus...
En tout cas, merci B. A.

par OG » Samedi 22 Septembre 2018, 20:06

Bonsoir

pour $n=0$

,

est la fonction constante égale à 1, 1er terme du développement de $\exp(x)$ .
Question résultat, wolframalpha me souffle pour $n=2$

, $\int_0^1 (x\ln(x))^2 dx= 2/27$
ce qui ne semble pas correspondre à ton résultat.

O.G.

par **kojak** » Dimanche 23 Septembre 2018, 16:19

Bonjour,

othiprof a écrit:j'arrive à : $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^n}$

Presque c'est $\displaystyle \int_{0}^{1} x^n (\ln x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}}$

par **othiprof** » Lundi 24 Septembre 2018, 05:55

Bonjour,
il va donc falloir que je rejette un oeil à cet exercice.
Merci pour ces pistes!

Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Publicité

Re: Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Re: Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Re: Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Re: Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Re: Intégration terme à terme d'une série de fonctions

Qui est en ligne