Intégrale indéfinie

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Intégrale indéfinie

Messagepar max48 » Jeudi 11 Juillet 2013, 15:32

Bonjour,

Je ne retrouve pas mon livre de formules sur les primitives. J'aimerais connaître l'intégrale indéfinie (si elle existe) de :

$\begin{displaymath}\int x^2(A+B x^2)^{1/2}\, \mathrm dx\end{displaymath}$

Merci
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar kojak » Jeudi 11 Juillet 2013, 17:53

bonjour,

Pour un enseignant - de maths ? - pas besoin de livre de formules de primitives. Xcas devrait être capable de te répondre. Cependant, il faut distinguer plusieurs cas, car ça ressemble étrangement aux intégrales elliptiques, donc un petit changement de variables adéquat fonctionnera très bien.
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar max48 » Jeudi 11 Juillet 2013, 23:47

Salut,

J'ai tenté de faire le changement de variable $u=(A+Bx^2)$ mais cela n'a rien donné. Je vais revérifier.

Si c'était $x(A+Bx^2)$ ça ne poserait visiblement pas de problèmes.

Oui, l'adjectif elliptique est approprié ici.

Merci,
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar kojak » Vendredi 12 Juillet 2013, 12:05

Bonjour,

max48 a écrit:
J'ai tenté de faire le changement de variable $u=(A+Bx^2)$ mais cela n'a rien donné.


Il y a 2 choix de changement de variable suivant la nature de la courbe d'équation $y=\sqrt{a+bx^2}$. On choisit celui qui correspond au paramétrage classique de la portion de conique associée. Donc si c'est une ellipse, changement de variable en $\sin $, hyperbole changement en ch ou sh.

Une autre possibilité si on a une portion d'hyperbole, on fait un changement de variable suivant une droite parallèle à l'asymptote $y=\sqrt{|b|} x + t$ et on revient donc à une fonction rationnelle à intégrer.
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar max48 » Mardi 16 Juillet 2013, 02:57

Salut kojak,

Malheureusement, je me suis trompé lorsque j’ai posé mon intégrale. L’intégrale était plus simple que cela. J'ai réussi à trouver le résultat désiré.
Donc, désolé de t’avoir fait perdre du temps. :oops: De mon côté, ça m’a permis de lire sur les substitutions d’Euler dont tu fais mention.
La prochaine fois, je vais faire attention de bien formuler le problème.

Merci
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar kojak » Mardi 16 Juillet 2013, 11:57

Bonjour,

max48 a écrit:L’intégrale était plus simple que cela.
Et c'était quoi comme intégrale ?
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Re: Intégrale indéfinie

Messagepar max48 » Mardi 16 Juillet 2013, 19:15

Salut,

Dans la définition de $\Delta F_y$ (3), j'avais oublié de mettre le terme $\rho^2$ au dénominateur... Il n'y avait donc pas d'annulation des deux termes quadratiques. Il fallait, en réalité, résoudre l'intégrale 14.

Le but de l'exercice était de montrer que lorsqu'on tient compte des dimensions de deux corps sphériques, la formule donnant la force d'attraction entre ces deux corps revient à la formule mettant en présence des corps ponctuels (sans dimension). On peut donc supposer que toute la masse de chaque sphère est concentrée en un point.


Code: Tout sélectionner
\documentclass[a4paper,9pt]{book}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=3cm, bottom=3cm, left=2.5cm, right=2.5cm}
\usepackage{multicol}[1999/05/25]
\pagestyle{headings}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[light]{kpfonts}
\usepackage{times}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{cancel}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\ud}{\mathrm}
\begin{document}
\bigskip
\noindent
{\large{1. \underline{Attraction gravitationnelle entre deux corps c\'elestes}}}\\\\
\noindent
Soit un syst\`eme form\'e de deux corps c\'elestes $\mathcal{S}$ et $\mathcal{P}$ de forme sph\'erique. Les masses volumiques des corps sont uniformes. Le premier corps est caract\'eris\'e par une masse $m_S$ et un rayon $\rho_\mathcal{S}$. Le corps $\mathcal{P}$ a un rayon $R$ et une masse volumique $\mu_\mathcal{P}$. La distance entre les centres des deux corps est $L$.
\begin{enumerate}
\item Trouver l'expression $F$ de la force totale exerc\'ee sur le corps $\mathcal{P}$.
\item \`A l'aide de l'expression $F$, calculer la valeur de la force totale exerc\'ee par le Soleil sur la Terre. Les donn\'ees sont:\\
$m_{S}=1,99\cdot10^{30}\;\ud{kg} \qquad \mu_{T}=5522\;\ud{kg}/\ud{m^3} \qquad \qquad  \qquad  \qquad L=1,5\cdot10^{8}\;\ud{km}$\\
$R_T=6400\cdot\;\ud{km}\quad \qquad \;\;G=6,6720\cdot10^{-11}\;\ud{N\,m^2}/\ud{kg^{-2}}$
\\
\end{enumerate}
\noindent
\underline{Solutions}\\\\
\noindent
1) Puisque le corps $\mathcal{S}$ pr\'esente une sym\'etrie sph\'erique, l'acc\'el\'eration gravitationnelle caus\'ee par sa pr\'esence, \`a une distance $\rho$ \`a partir de son centre (avec $\rho>\rho_S$), sera donn\'ee par la formule:
\begin{equation} g(\rho)=G\,\frac{m_\mathcal{S}}{\rho^2} \label{eq:A1}\end{equation}
o\`u $G$ est la constante de gravitation universelle. Le module d'un \'el\'ement fini de la force exerc\'ee par le corps $\mathcal{S}$ sur un \'el\'ement fini de masse $\Delta m_\mathcal{P}$ est:
\begin{align*}
\Delta F&=G\,\frac{m_\mathcal{S}}{\rho^2}\cdot\Delta m_\mathcal{P}
\end{align*}
En rempla\c{c}ant $\Delta m_\mathcal{P}$ par $\mu_\mathcal{P}\,\Delta V_\mathcal{P}$, on a:
\begin{align}
\Delta F&=G\,\frac{m_\mathcal{S}}{\rho^2}\cdot\mu_\mathcal{P}\,\Delta V_\mathcal{P}\nonumber\\
&=\frac{G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\;\Delta V_\mathcal{P}}{\rho^2}\label{eq:A2}
\end{align}
La composante de l'\'el\'ement de force $\Delta F_y$ orient\'ee selon le segment $L_\mathcal{SP}$ est:
\begin{align}
\Delta F_y&=\Delta F\,\cdot\cos\theta\nonumber\\
&=\frac{G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\,\Delta V_\mathcal{P}}{\rho^2}\cdot\cos\theta\nonumber\\
&=\frac{G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\,\Delta V_\mathcal{P}\,\cos\theta}{\rho^2}\label{eq:A3}
\end{align}
On doit, ensuite, exprimer $\Delta V_\mathcal{P}$ en coordonn\'ees sph\'eriques:
\begin{equation}
\Delta V_\mathcal{P}=\rho^2\sin\theta\,\Delta\phi\,\Delta\theta\,\Delta\rho
\end{equation}
L'expression~\eqref{eq:A3} de $\Delta F_y$ devient:\\
\begin{align}
\Delta F_y&=\frac{G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\cdot(\rho^2\sin\theta\,\Delta\phi\,\Delta\theta\,\Delta\rho)\cdot\cos\theta}{\rho^2}\nonumber\\
&=G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\cdot(\sin\theta\,\Delta\phi\,\Delta\theta\,\Delta\rho)\cdot\cos\theta\nonumber\\
&=G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\,\cos\theta\sin\theta\,\Delta\phi\,\Delta\theta\,\Delta\rho
\end{align}
En passant \`a l'\'el\'ement diff\'erentiel, on peut maintenant \'ecrire l'int\'egrale:
\begin{align*}
F_y&=\int_{V_\mathcal{P}}\mathrm{d}F_y\nonumber \\
&=\int_{\rho_1=L-R}^{\rho_2=L+R} \!\!\int_{\theta_1=0}^{\theta_2(\rho)}\!\!\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\,\cos\theta\sin\theta\,\ud d\phi\,\ud d\theta\,\ud d\rho
\end{align*}
En sortant les valeurs constantes de l'int\'egrale, on a:
\begin{align}
F_y&=G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\int_{\rho_1=L-R}^{\rho_2=L+R} \!\!\int_{\theta_1=0}^{\theta_2(\rho)}\!\!\int_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\cos\theta\sin\theta\,\ud d\phi\,\ud d\theta\,\ud d\rho
\end{align}
On int\`egre, ensuite, selon $\phi$:
\begin{align}
F_y&=2\pi G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\int_{\rho_1=L-R}^{\rho_2=L+R} \!\!\int_{\theta_1=0}^{\theta_2(\rho)}\!\! \cos\theta\sin\theta\,\ud d\theta\,\ud d\rho \label{eq:A4}
\end{align}
Avant d'int\'egrer selon $\theta$, il faut \'etablir la relation fonctionnelle entre $\theta$ et $\rho$.
\begin{eqnarray}
R^2=\rho^2+L^2-2L\,\rho\,\cos\theta \nonumber\\
2L\,\rho\,\cos\theta=\rho^2+L^2-R^2 \nonumber\\
\cos\theta=\frac{\rho^2+L^2-R^2}{2L\,\rho}\label{eq:A5}
\end{eqnarray}
Puisque c'est la fonction $\cos \theta$ qui appara\^it, on fera le changement de variable $u=\cos\theta$. La diff\'erentielle est $\ud du =-\sin\theta \,\ud d \theta$. L'int\'egrale:
\begin{align}
\int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos\theta\sin\theta\,\ud d\theta
\end{align}
avec le changement de variable devient:
\begin{align}
-\int_{u_1}^{u_2} u\,\ud du&=-\frac{u^2}{2}\Bigg|_{u_1}^{u_2}
\end{align}
En rempla\c{c}ant $u$ par $\cos \theta$ et en assignant \`a $\theta_1$ et $\theta_2$ les expressions appropri\'ees, on a:
\begin{align}
-\frac{u^2}{2}\Bigg|_{u_1}^{u_2}&=-\frac{\cos^2\theta}{2}\Bigg|_{\theta_1=0}^{\theta_2=\theta(\rho)}\\
&=\frac{-1}{2}(\cos^2\theta(\rho)-1)
\end{align}
Il suffit de mettre cette expression dans l'int\'egrale~\eqref{eq:A4}:
\begin{align}
&=-\pi G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\int_{\rho_1=L-R}^{\rho_2=L+R}(\cos^2\theta(\rho)-1)\,\ud d\rho
\end{align}
Il s'agit, ensuite, de remplacer $\cos(\theta)$ par le membre de droite de l'\'equation~\eqref{eq:A5}:
\begin{align}
F_y&=-\pi G\,m_\mathcal{S}\,\mu_\mathcal{P}\int_{\rho_1=L-R}^{\rho_2=L+R}\Big(\big(\frac{\rho^2+L^2-R^2}{2L\,\rho}\big)^2-1\Big)\,\ud d\rho \label{eq:A6}
\end{align}
\end{document}


Merci
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