Injections, Surjections!! Besoin d'aide!!

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Injections, Surjections!! Besoin d'aide!!

Messagepar Elo23 » Lundi 02 Octobre 2006, 20:29

Coucou tout le monde!! Je suis vraiment en galère sur un exo, je viens de ES et les maths c'est vraiment dur pour moi!
On me demande d'étudier l'injectivité et la surjectivité de la fonction f de $\R^2$ dans $\R^2$
$f(x,y)= (x^2+y,x+y)$

Je sais vraiment pas par où commencer!
J'éspère que vous pourrez m'aider!
Merci d'avance!
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Messagepar Arnaud » Lundi 02 Octobre 2006, 20:41

Tu trouveras dans le topic suivant un rappel sur l'injectivité :

http://www.mathematex.net/phpBB2/questi ... t1259.html

Pour la surjectivité, il faut se poser la question suivante : est-ce que les images par $f$ atteignent tous les points de $\R^2$ ?
Autrement dit : l'équation $(a,b)=(x^2+y,x+y)$ admet-elle toujours une solution ?
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Messagepar Elo23 » Lundi 02 Octobre 2006, 20:43

Ok merci !
J'avais regardé le topic sur l'injectivité avant de poster mais franchement je comprends pas comment faire, comment démontrer en fait...
Je suis vraiment coincé !lol
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Messagepar nirosis » Lundi 02 Octobre 2006, 21:24

Commence par l'injectivité. Montre que $f(x,y)=f(z,w)  \Rightarrow  x=z \textnormal{ et } y=w$. Ca veut dire que ta fonction a au plus un antécédent !! Ca c'est pas dur !
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Messagepar Elo23 » Lundi 02 Octobre 2006, 22:02

Je te promets que je sais pas faire ça non plus, en fait je dois savoir le faire mais je suis tellement en panique que je vois pas le truc!
Ca voudrait dire qu'il faut que je prouve d'abord que $x=z$ et $y=w$ en supposant $f(x,y)=f(z,w)$?? je suis sure que je dis n'importe quoi là!
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Messagepar Arnaud » Lundi 02 Octobre 2006, 22:24

Bon il ne faut pas stresser, cette fonction n'est pas toute simple.

Pour t'aider un peu, essaye de trouver $(x,y)$ tels que $f(x,y)=(2,2)$.

Y a t-il une solution ? Plusieurs ?
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Messagepar Elo23 » Lundi 02 Octobre 2006, 22:37

si je prends x=1 et y=1 je trouve le même resultat je vois pas d'autres solutions...ais je raison lol??
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Messagepar Arnaud » Lundi 02 Octobre 2006, 22:40

En effet $(1,1)$ marche, mais je crois qu'il y a autre chose...
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Messagepar Elo23 » Lundi 02 Octobre 2006, 22:44

Ah alors attend je vais chercher lol Merci en tout cas !!

Si on prend x=0 et y=2 ça marche aussi non??
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Messagepar guiguiche » Mardi 03 Octobre 2006, 09:41

Elo23 a écrit:Si on prend x=0 et y=2 ça marche aussi non??

Essaye maintenant avec $a$ et $b$ quelconques. Comment déterminer $(x,y)$ tel que $f(x,y)=(a,b)$ ? Y a-t-il 0 ou 1 ou au moins 2 possibilités ?
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 10:18

Bon tu as trouvé que $f(1,1)=f(0,2)=(2,2)$, alors on peut au-moins répondre à une question.

Est-elle injective ?
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