Inégalité

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Inégalité

Messagepar joanie58 » Mercredi 08 Octobre 2014, 13:56

Bonjour,

je doit montrer que $\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}\leq\frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-y)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(y-z)\mid}$

j'ai réussi à trouver que

$\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-z+y-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-y)+(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} \leq \frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} $

mais après je bloque...
pouvez-vous m'aider??

Merci
joanie58
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Re: Inégalité

Messagepar balf » Mercredi 08 Octobre 2014, 20:50

Il faut se rappeler que la fonction f(x)=x /(1+x) est croissante sur R+. L'inégalité demandée équivaut au fait que f(|x|) soit une norme sur R, c.-à-d. que

$$ \mathsf{\dfrac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \dfrac{|a|}{1+|a|}+\dfrac{|b|}{1+|b|}} $$

On regarde d'abord le cas où a et b sont de même signe, qu'on peut supposer positif. L'inégalité équivaut alors à

$$ \mathsf{(a+b)(1+a)(1+b) \leqslant (1+a+b)[a(1+b)+b(1+a)]}$$

et l'on peut récrire le membre de droite comme (a + b)(1 + a)(1 + b) + qq ch. (>0).

Reste à voir le cas où a et b sont de signes opposés. La croissance de f permet de montrer que f(|a + b|) $\leqslant$ f(|a|) ou f(|b|) semon le signe de a + b.

B.A.
balf
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