Indice et formule de Cauchy

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Indice et formule de Cauchy

Messagepar paspythagore » Jeudi 15 Novembre 2012, 15:57

Bonjour,
j'ai quelques incompréhensions sur ce sujet.
Définition Soit $c$ un chemin fermé dans $\C$ et $z\in\C\setminus<c>$; on note et on définit :

$$Ind(c,z)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_c\dfrac{d\zeta}{\zeta -z}$$



C'est l'indice de $c$ par rapport à $z\in<c>$, ou l'indice de $z\notin<c>$ par rapport à $c$.

Théorème (Formule de Cauchy pour un convexe) Soit $\Omega$ un ouvert de $\C$ et $f\in\mathscr{O}(\Omega)$.
Pour tout chemin fermé $c$ dans $\Omega$ et $z\notin<c>$, on a :

$$\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_c\dfrac{f(\zeta)}{\zeta -z}d\zeta=Ind(c,z)f(z)$$


Théoréme Soit $\Omega$ un ouvert de $\C$. Soit $c$ un chemin fermé de $\Omega$ homotope à un point dans $\Omega$. C'est le cas pour tout chemin fermé de $\Omega$ si $\Omega$ est simplement connexe. Alors :

$$\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_c\dfrac{f(\zeta)}{\zeta -z}d\zeta=Ind(c,z)f(z)$$



Je ne comprends pas à quoi correspond $\zeta$.
On donne une équivalence entre connexe et homotope ?
Convexe $\Longrightarrow$ Connexe par arcs $\Longrightarrow$ Connexe.
Mais simplement connexe est plus fort que connexe par arc ?
JCa rejoint la discussion sur l'homotopie.
Quelles sont les différences entre simplement connexe et convexe ?

Merci de votre aide.
paspythagore
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Re: Indice et formule de Cauchy

Messagepar rebouxo » Jeudi 15 Novembre 2012, 16:25

$\zeta$ c'est la variable d'intégration.

Jeqça.

Olivier
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Re: Indice et formule de Cauchy

Messagepar balf » Jeudi 15 Novembre 2012, 17:11

Un domaine étoilé par rapport à un point est simplement connexe, mais n'est pas nécessairement convexe.
La simple connexité est la connexité par arcs, plus la propriété que tout lacet peut se réduire continûment à un point (homotopie).

B.A.
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Re: Indice et formule de Cauchy

Messagepar paspythagore » Jeudi 15 Novembre 2012, 21:53

Merci l'exemple de l'étoilé m'aide à comprendre. Pour le l'homotopie, un seul problème : les trous.
Pour $\zeta$ effectivement, c'est la variable mais comment arrive t-on à $Ind(c,z)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_c\dfrac{d\zeta}{\zeta -z}$ ?

C'est une définition, je sais, mais ça représente quelque chose, le nombre de tours autour de $z$, comment "l'expliquer" ?
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Re: Indice et formule de Cauchy

Messagepar balf » Vendredi 16 Novembre 2012, 00:59

Cela vient de ce que, si le lacet est un cercle autour de z$_{\mathsf 0}$ parcouru n fois dans le sens direct, quand on paramètre ce cercle par la fonction exponentielle :
ζ — z$_{\mathsf 0}$ = e$^{\mathsf{it/n}}$ (0 $\leqslant$ t $\leqslant$ 1),
on trouve que l'intégrale est égale à 2niπ, d'où Ind(c,z) = n, si z est intérieur au cercle, 0 s'il lui est extérieur. On trouverait –n avec un cercle parcouru dans le sens négatif.
Tout cela est lié au problème de la détermination du logarithme complexe, qui n'est défini que modulo 2iπZ.

C'est cette égalité qu'on généralise en une définition de l'indice pour un lacet quelconque (continu, de calsse C¹ par morceaux tout de même).

B.A.
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Re: Indice et formule de Cauchy

Messagepar paspythagore » Vendredi 16 Novembre 2012, 10:35

Merci.
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