Indice de nilpotence

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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Indice de nilpotence

Messagepar girdav » Samedi 22 Août 2009, 09:56

Bonjour.
On se donne un anneau commutatif $\left(A,+,.\right)$ et on note
$\sqrt{\left\{0\right\}}= \left\{x \in A, \exists n \in \mathbf{N}^* x^n =0_A\right\}$
et pour $a \in \sqrt{\left\{0\right\}}$ on note
$nil\left(a\right) = \inf\left\{n \in \mathbf{N^*}, \  x^n =0_A\right\}$
On démontre via le binôme de Newton que $x, y \in \sqrt{\left\{0\right\}} \Rightarrow x+y \in \sqrt{\left\{0\right\}}$ et que $nil\left(x+y\right) \leq nil\left(x\right)+ nil\left(y\right)$.
Mais y a-t-il une expression simple de $nil\left(x+y\right)$ en fonction de $nil\left(x\right)$ et $nil\left(y\right)$?
J'ai seulement réussi à établir que cette formule ne peut pas être de la forme $nil\ \left(x+y \right) = nil\ \left(x \right) +nil\ \left(y \right) -k$ avec $k$ entier. Donc il faut chercher du côté de $nil\ \left(x+y \right) = nil\ \left(x \right) +nil\ \left(y \right) -f \left(nil\left(x \right),nil\left(y \right) \right) $. Je n'ai pas trouvé d'informations sur $f$ et c'est la que je sollicite votre aide.
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar MC » Samedi 22 Août 2009, 15:34

Bonjour,
On a en fait $\mathrm{nil}(x+y) \leq \mathrm{nil}(x)+ \mathrm{nil}(y) -1$. On ne peut pas obtenir de formule comme celle que tu cherches car $\mathrm{nil}(x+y)$ n'est pas fonction de
$ \mathrm{nil}(x)$ et $\mathrm{nil}(y)$ uniquement.
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar girdav » Samedi 22 Août 2009, 17:14

Merci de votre réponse.
Quelles sont alors les autres variables dont dépend $nil \left(x+y \right)$? Est-ce que ça dépend en particulier de l'anneau en question?
Dernière édition par girdav le Samedi 22 Août 2009, 21:25, édité 1 fois.
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar MC » Samedi 22 Août 2009, 21:06

Ca dépend de $x$ de $y$ et de $A$. Tu peux faire des expériences avec des anneaux de la forme $K[T]/T^a$ par exemple, en prenant pour $x$ et $y$ des éléments sans terme constant. Dans ce cas on peut obtenir pour $\mathrm{nil}(x+y)$ à peu près n'importe quoi d'inférieur ou égal à $\max(\mathrm{nil}(x), \mathrm{nil}(y))$.
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar girdav » Dimanche 23 Août 2009, 17:24

MC a écrit:Ca dépend de $x$ de $y$ et de $A$. Tu peux faire des expériences avec des anneaux de la forme $K[T]/T^a$ par exemple, en prenant pour $x$ et $y$ des éléments sans terme constant. Dans ce cas on peut obtenir pour $\mathrm{nil}(x+y)$ à peu près n'importe quoi d'inférieur ou égal à $\max(\mathrm{nil}(x), \mathrm{nil}(y))$.

Je n'ai encore jamais rencontré d'anneau de la forme $K[T]/T^a$ (je sors de licence 2). Pourriez-vous me guider vers des références qui en parlent (si elles sont accessibles à mon niveau) ou me donner un exemple plus simple (s'il existe)?
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar MC » Dimanche 23 Août 2009, 22:11

Bizarre. Tu te poses des questions sur l'indice de nilpotence et tu es effrayé par un petit anneau quotient $k[T]/T^n$? :wink:
Cet anneau est simplement l'anneau des polynômes sur un corps $K$ quotienté par l'idéal engendré par $T^n$. On "tue" $T^n$ et toutes les puissances supérieures de $T$. On peut représenter un élément du quotient par un polynôme $P$ de degré $<n$. Si $P$ est sans terme constant, son indice de nilpotence est le plus petit entier supérieur ou égal à $n/\omega(P)$, où $\omega(P)$ est la puissance maximale de $T$ divisant $P$ (qu'on appelle souvent l'ordre ou la valuation du polynôme).
Tu peux alors prendre $x=T$ et $y=-T+T^k$ (tous les deux d'indice de nilpotence $n$). Quel est l'indice de nilpotence de $x+y$?
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Re: Indice de nilpotence

Messagepar girdav » Mercredi 26 Août 2009, 16:18

En fait c'est le $T^a$ qui m'avait perturbé: je ne savais pas que $a$ désignait un entier (je n'ai pas pensé à introduire un anneau quotient).
On a $x+y = T^k$ et $\left(x+y\right)^j = T^{kj}$ donc $\left(x+y\right)^j$ s'annule dès que $kj \geq n$. Donc l'indice de nilpotence est le plus petit entier vérifiant plus grand que $\dfrac nk$. L'indice de nilpotence de la somme dépend donc de $k$, ce qui n'est pas le cas des termes. Donc $f$ comme je l'avais signalée dans le premier message n'existe pas, puisque $f\left(n,n\right)$ prend des valeurs différentes.
Merci à vous!
girdav
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