Hypersurface

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Hypersurface

Messagepar paspythagore » Mercredi 15 Janvier 2014, 21:16

Bonjour.
En attendant de comprendre la démonstration de la proposition sur les fermés. J'essaie un autre exercice :
Soit $\alpha$ un nombre réel. on considère l'ensemble :

$$S_\alpha=\{(x,y,z)\in\R^3;(x-1)(y-2)z=\alpha\}$$


1) Montrer que si $\alpha$ est différent de $0$, alors $ S_\alpha$ est une hypersurface de $\R^3$.

Soit $f(x,y,z)=(x-1)(y-2)z-\alpha$

$Df(x,y,z)=\begin{pmatrix}(y-2)z\\(x-1)z\\(x-1)(y-2)\end{pmatrix}=0\Longleftrightarrow\begin{cases}z=0\text{ et }x-1=0\\z=0\text{ et }y-2=0\\x-1=0\text{ et }y-2=0\end{cases}$

Si $\alpha\neq0$, ces points n'appartiennent pas à $S_\alpha$, donc $S_alpha$ est une hypersurface.
2) L'ensemble $S_0$ est il une hypersurface de $\R^3$ ? Justifier votre réponse. On pourra uriliser l'expression de la différentielle de la fonction qui à $(x,y,z)$ associe $(x-1)(y-2)z$.

$S_0$ n'est pas une hypersurface car $Df(x,y,z)$ s'annule sur $(1,y,0)$, $(x,2,0)$ et en $(1,2,0)$ qui appartiennent à $S_0$.

Se servir de la différentielle, je ne comprends pas...

$Df(x)(h)=(y-2)z\vv{h_1}+(x-1)z\vv{h_2}+(x-1)(y-2)\vv{h_3}$
Trouver un ouvert $\Omega$ de $\R^3$ tel que $S_0\cap\Omega$ soit une hypersurface non vide de $\Omega$.

$\R^3\setminus\left\lbrace(1,y,0)\cup(x,2,0)\cup\{(1,2,0)\}\right\rbrace}$

Est ce que la droite $(1,y,0)$ est un fermé ?
Je pense que oui car toute suite convergente à valeurs dans $(1,y,0)$ a sa limite dans $(1,y,0)$.

Donc $\Omega$ est un ouvert.
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Jeudi 16 Janvier 2014, 23:25

Bonsoir.
Quelqu'un peut-il me donner un peu d'inspiration pour cet exercice qui devrait me paraitre simple ?
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Re: hypersurface

Messagepar Minibob59 » Vendredi 17 Janvier 2014, 10:41

Bonjour,

Pour la question 1, je dirais d'abord "Attention aux notations", $Df$ n'est pas un vecteur mais une application linéaire. Ce que tu as écrit, c'est le gradient de $f$ en $(x;y;z)$. Ceci dit, c'est lié (de manière générale, dans un espace euclidien, $\mathrm{d}f(x)(h) = (\mathrm{grad}f(x) \vert h)$$(\cdot \vert \cdot)$ désigne le produit scalaire).

Bref, je partirais sur le théorème des fonctions implicites (tu as déjà vérifié que la différentielle était inversible partout sur $S_{\alpha}$)...

Ceci dit, je ne suis pas un spécialiste des hypersurfaces, et je ne connais pas vraiment de caractérisation, ou autre, de tels objets...
Dernière édition par Minibob59 le Mercredi 22 Janvier 2014, 10:23, édité 1 fois.
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Vendredi 17 Janvier 2014, 18:56

Merci.
Pour la question 1). Oui je me suis trompé plutôt $\bigtriangledown f(x,y,z)=\begin{pmatrix}(y-2)z\\(x-1)z\\(x-1)(y-2)\end{pmatrix}=...$

Utiliser le théorème des fonctions implicites pour quelle question ?
Je vois bien $f(x,y,z)=0\Longleftrightarrow(x-1)(y-2)z=0$
Il existe une fonction $\varphi$ telle que $\{(x,y,z),f(x,y,z)=0\}=\{(x,y,\varphi(x,y))\}$
Mais aprés ?
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Re: hypersurface

Messagepar Minibob59 » Samedi 18 Janvier 2014, 10:46

Le théorème des fonctions implicites va nous donner un voisinage $V \subset \mathbb{R}^2$ de $(x,y)$ sur lequel existe la fonction $\phi$, donc en tout point de $S_{\alpha}$, on peut dire que $S_{\alpha}$ est localement une hypersurface. Le problème est de contrôler la taille du voisinage ou bien de "recoller" les fonctions $\phi$... Là je n'ai pas d'idée, et je pense que c'est un peu un rêve de penser y arriver par ce bout là.

Comment définis-tu une hypersurface dans ton cours ?
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Samedi 18 Janvier 2014, 22:18

Bonsoir.
Comment définis-tu une hypersurface dans ton cours ?

Nous allons définir les hypersurfaces de $\R^N$ comme étant localement, l'ensemble des zéros d'une fonction régulière dont la différentielle est non nulle. Cette hypothèse sur la différentielle est essentielle, car sans cette restriction, la définition que nous venons d'exposer est totalement sans intérêt du fait du théorème suivant :


Soit $S$ une partie de $\R^N$ et $k$ un entier supérieur ou égal à $1$ ; on dit que $S$ est une hypersurface $C^k$ de $\R^N$ si et seulement si pour tout point $x_0$ de $S$, il existe un ouvert $U$ de $\R^N$ contenant $x_0$ et une fonction $f$ de classe $C^k$ sur $\omega$, à valeurs réelles telle que :
1 on ait $f^{-1}(0)=S\cap U$,
2 pour tout $x$ de $S\cap U$, on a $Df(x)\neq0$.
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Re: hypersurface

Messagepar Minibob59 » Samedi 18 Janvier 2014, 22:24

Je suppose que tu as fait une faute de frappe et que $\omega$ et $U$ désignent le même ouvert. Dans ce cas, avec le théorème des fonctions implicites, on a l'existence de $U$, $f$ c'est la fonction que tu proposais, et elle vérifie la condition 2. Reste à vérifier la condition 1...

Ca m'a l'air pas mal, mais il faut encore que je m'en convainque. ^^
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Mardi 21 Janvier 2014, 21:59

Bonjour.
Excuses moi Minibob59, mais je ne comprends toujours pas pour quelle question utiliser le théorème des fonctions implicites.

Soient $\Omega$ un ouvert de $\R^N$, $p$ un entier compris entre $1$ et $N-1$ et $f$ une fonction de classe $C^k$ de $\Omega$ dans $\R^{N-p}$. On se donne des espaces vectoriels supplémentaires $E$ et $F$ dans $\R^N$ tels que la dimension de $E$ soit égale à $p$. On considère un point $(a,b)$ de $E\times F$ tels que $X_0=(a,b)\in\Omega$ et $f(X_0)=0$ et on suppose que $Df(X_0)_{|F}$ est une application linéaire bijective de $F$ sur $\R^{N-p}$.

Il existe alors un ouvert $U$ de $E$ contenant $a$ et un ouvert $\omega$ de $\Omega$ contenant $X_0$ et une fonction $g$ de classe $C^k$ sur $U$ tels que :

$$\{(x,y)\in\omega/f(x,y)=0\}=\{(x,g(x)),x\in U\}.$$


Je dois reconnaître que je connais mal ce théorème et que je ne l'ai jamais utilisé.
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Samedi 25 Janvier 2014, 23:26

Désolé. mais je n'arrive pas à écrire la première ligne. Comment utiliser le théorème des fonctions implicites ici ?
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Lundi 03 Février 2014, 22:11

Je pense que la première question est finie, je passe à la deuxième.

Soit $\alpha$ un nombre réel. on considère l'ensemble :

$$S_\alpha=\{(x,y,z)\in\R^3;(x-1)(y-2)z=\alpha\}$$



1) Montrer que si $\alpha$ est différent de $0$, alors $ S_\alpha$ est une hypersurface de $\R^3$.

2) L'ensemble $S_0$ est il une hypersurface de $\R^3$ ? Justifier votre réponse. On pourra utiliser l'expression de la différentielle de la fonction qui à $(x,y,z)$ associe $(x-1)(y-2)z$.


Soit $f(x,y,z)=(x-1)(y-2)z$

$Df(x,y,z)(\vv{h})=(y-2)z\vv{h_1}+(x-1)z\vv{h_2}+(x-1)(y-2)\vv{h_3}$

Or $Df(0,0,0)=0$ et $(0,0,0)\in S_0$

Donc $S_0$ n'est pas une hypersurface.

Je ne vois toujours pas comment utiliser le TFI.
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Re: hypersurface

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Février 2014, 21:42

:crybaby: Désolé, je n'y arrive pas.
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Re: hypersurface

Messagepar Minibob59 » Dimanche 09 Février 2014, 22:28

Bien, reprenons les choses calmement. Il n'est peut-être pas nécessaire d'utiliser le TFI dans cet exercice en fin de compte.

  1. Pour $\alpha \neq 0$, si $(x,y,z) \in S_\alpha$, alors $x \neq 1, y \neq 2, z \neq 0$. On note $f(x,y,z) = (x-1)(y-2)z - \alpha$. Alors si $U = \mathbb{R}^3$ (ouvert), alors $f^{-1}(\{ 0 \} ) = U \cap S_\alpha$ et pour tout $(x, y, z) \in S_\alpha$ on a bien $\mathrm{d}f_x \neq 0$ (simple calcul de dérivées partielles ici).
  2. Pour $\alpha = 0$, on peut expliciter là aussi $S_\alpha = S_0$. Il s'agit de la réunion des plans d'équation $x = 1$, $y = 2$ et $z = 0$. Au point $(1,2,0) \in S_0$, la différentielle de $f$ s'annule, donc $S_0$ n'est pas une hypersurface au voisinage de ce point. On peut alors considérer $\Omega = \mathbb{R} - (d_x \cup d_y \cup d_z)$$d_x$, $d_y$ et $d_z$ sont les droites d'équation respective $(y = 2, z=0)$, $(x = 1, z = 0)$ et $(x = 1, y = 2)$. Alors $S' = S_0 \cap \Omega$ est une hypersurface je pense, puisqu'on a retiré les points gênants. Normalement il suffit de vérifier que les points de $S'$ vérifient tous la définition d'une hypersurface.
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Re: Hypersurface

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Février 2014, 21:58

OK merci.
Pour les fonctions implicites, je ne vois vraiment pas.
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Re: Hypersurface

Messagepar Minibob59 » Lundi 10 Février 2014, 22:07

Non mais en fait je t'ai induit en erreur sans le vouloir, désolé... :oops:
C'est simplement que c'est le type d'exercice où il pourrait intervenir, mais j'ai vite tendance à sortir l'artillerie lourde pour des problèmes simples... D'ailleurs, le TFI nous aurait donné un résultat moins précis que ce que j'ai mis pour la question 1, car on n'aurait pas eu l'expression de la fonction définissant l'hypersurface. Mais il reste applicable avec $f(x,y,z) = (x-1)(y-2)z - \alpha$ au voisinage d'un point $(x_0, y_0, z_0) \in S_\alpha$.
Pour la question 2, on est dans un cas où le TFI ne s'applique pas. Ca ressemble au cas dans le plan où l'on a une courbe qui fait une boucle : le TFI ne s'applique pas au point double de l'arc paramétré qui décrit la courbe. S'il s'appliquait, on n'aurait qu'une seule tangente en ce point à la courbe, or il peut y en avoir deux dans le cas général (faire un dessin).

Bref, on est venu à bout de l'exercice. Si tu veux réfléchir sur le TFI, fais le sur un autre exercice où il est vraiment nécessaire. ^^

Bon courage !
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