Homomorphisme d'anneau

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Homomorphisme d'anneau

Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 16:21

Bonjour:
Quel homomorphisme d'anneau choisir pour avoir ; d'après le théorème d'isomorphisme, $\  C \cong R[X]/(X^{2}+1) $.
et merçi infiniment !!
Pedro
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Messagepar Arnaud » Mercredi 27 Juin 2007, 16:23

Cela découle directement de ce qu'on t'a expliqué hier : trouve un élément de $\C$ n'appartenant pas à $\R$ et algébrique sur $\R$, et donne un polynôme irréductible qui admet cet élément comme racine.
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Messagepar Tryphon » Mercredi 27 Juin 2007, 17:08

Le morphisme qui à $P$ associe $P(i)$. Son noyau est $(X^2 + 1)$ (ensemble des multiples de $X^2 + 1$) et son image est $\C$ donc, par le théorème d'isomorphisme $\C \sim \C[x]/(X^2 + 1)$...
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 17:13

Arnaud bonjour :
On a: $\ i \in C $ mais $\ i \not \in R $.
$\ i $ est algébrique sur $\ R $ car: $\ \exists X^{2} + 1 \in R[X]- \{ 0_{R} \} $ : $\ (X^{2}+1)(i) = i^{2} + 1 = 0 $.
$\ P = X^{2} + 1 $ est irréductible dans $\ R $ et admet $\ i $ comme racine ...
Si on prend pour homomorphisme d'anneau l' application :
$\ \sigma $ : $\ R[X] \longrightarrow C $
$\  P  \longrightarrow P(i) $
$\ \sigma $ est bien un homomorphisme d'anneau:
$\ \forall P,Q \in R[X] $ :
$\ (P+Q)(i) = P(i) + Q(i) $ et $\ (P.Q)(i) = P(i) . Q(i) $ et $\ 1_{R}(i) = 1 $.
$\ Ker(\sigma) = (X^{2}+1) = \{ P.(X^{2}+1) / P \in R[X] \} $
Il est clair que : $\ (X^{2}+1) \subset Ker(\sigma) $ car: $\ \forall P \in R[X] $ : $\ (P.(X^{2}+1))(i) = 0 $
Montrons maintenant que : $\ Ker(\sigma) \subset (X^{2}+1) $.
Soit : $\ P \in R[X] $ tel que : $\ P \in Ker(\sigma) $.
c'est à dire: $\ P(i) = 0 $ alors est ce que : $\ P | X^{2}+1 $
Est ce que c'est juste ce que je fais ?!
la suite, je sais pas comment faire, quelqu'un peut-t-il m'aider ?!
et merçi infiniment !!
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 17:13

Merçi tryphon !!
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Messagepar Arnaud » Mercredi 27 Juin 2007, 17:15

Oui, bon, moi qui voulait que tu cherches un peu ( pour ton bien ! ), Tryphon a été gentil.
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Messagepar Tryphon » Mercredi 27 Juin 2007, 17:40

Désolé Arnaud, j'avais pas fait le rapprochement avec l'ancien post...
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 19:38

oui mais il reste à montrer que: $\ Ker(\sigma) \subset (X^{2}+1) $ ... pourriez vous m'aider sur ce point là ? merçi d'avance !!
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 20:06

Arnaud, hier, on m'a rien expliqué, j'ai posté quelques messages hier , mais quelqu'un a tout effacé aujourd'hui...je suis entré voir ce matin si j'ai reçu quelques reponses j'ai rien trouvé ...je sais pas pourquoi !!? :roll:
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 20:18

Pourquoi si $\ i $ est algébrique alors le polynome minimal est $\ X^{2} + 1 $ ?
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Messagepar guiguiche » Mercredi 27 Juin 2007, 20:26

Pedro a écrit:Pourquoi si $\ i $ est algébrique alors le polynome minimal est $\ X^{2} + 1 $ ?

Tu connais un polynôme à coefficients entiers et de degré <2 admettant i pour racine ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 20:29

Oui tu as raison !!
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 20:38

Mais c'est pas ça la définition du polynôme minimal dans mon cours !
Mais généralement si a est algébrique et alors $\ \exists P \in R[X] - \{ 0_{R} \} $tel que: $\ P(a)=0  $ et le polynome minimal de $\ a $ divise $\ P $ ...
alors si on applique ça à l'exemple que j'ai donné au départ, peut t-on proceder comme ça pour dire que puisque $\ P(i)=0 $ et $\ X^{2} + 1 $ est le polynome minimal de $\ i $ sur $\ R $ alors $\ X^{2} + 1 | P $ donc $\ p \in (X^{2} + 1) $ ...
est ce que c'est comme ça qu'on doit raisonner et merçi infiniment !!
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Messagepar guiguiche » Mercredi 27 Juin 2007, 20:44

Je ne pratique plus ces notions depuis longtemps mais ça me semble pas trop mal. Sans garantie toutefois.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Arnaud » Mercredi 27 Juin 2007, 20:56

Pedro a écrit:Arnaud, hier, on m'a rien expliqué, j'ai posté quelques messages hier , mais quelqu'un a tout effacé aujourd'hui...je suis entré voir ce matin si j'ai reçu quelques reponses j'ai rien trouvé ...je sais pas pourquoi !!? :roll:


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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 21:36

Donc la conclusion que j'ai fait est pratiquement correcte !!!
Merçi beaucoup Arnaud !!
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Messagepar Pedro » Mercredi 27 Juin 2007, 21:44

et merçi à jobherzt aussi !
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