[Urgent] Homographies et équation complexe de cercle/droite

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[Urgent] Homographies et équation complexe de cercle/droite

Messagepar Niels » Mardi 29 Mai 2007, 21:06

Bonsoir,

Dans mes TD d'Analyse complexe figure un exercice pour lequel j'aurais besoin de votre aide :

Il s'agit de déterminer l'image directe de cercles ou de droites par une homographie.

Je rappelle qu'une homographie est une application de $\mathbb{C}\setminus\{-\frac{d}{c}\}$ dans $\mathbb{C}$ définie par :

$\Large{f(z):=\frac{az+b}{cz+d}}$, avec $ad-bc\neq 0$.

Dans les indications qu'on m'a donné, on écrit $f$ comme composée de translations, d'une homothétie et de la fonction inverse :

$\Large{\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\frac{a}{c}(cz+d)+b-\frac{ad}{c}}{cz+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}\frac{1}{c\left(z+\frac{d}{c}\right)}}$

Ensuite, on me dit que l'équation d'un cercle ou d'une droite dans le plan complexe est de la forme :

$Az\bar{z}+Bz+\bar{B}\bar{z}+C=0$, où $A,C\in\mathbb{R}\ \text{et}\ B\in\mathbb{C}$

Ce qui représente un cercle si $A\neq 0$, et une droite si $A=0$.

Enfin, on nous fait remarquer que si $z$ vérifie $Az\bar{z}+Bz+\bar{B}\bar{z}+C=0$,

alors $w:=\frac{1}{z}$ vérifie $Cw\bar{w}+\bar{B}w+B\bar{w}+A=0$.

Donc la fonction inverse transforme une droite ou un cercle en une droite ou un cercle.

Alors on nous demande de déterminer l'image de domaines du plan par une homographie... (Si vous voulez, je pourrai vous donner l'énoncé exact.)

Il me semble qu'il n'y ait pas d'autre méthode que d'utiliser la mise en équation que j'ai exposée ci-dessus.

Justement, La question que je me pose est :

Comment déterminer rapidement les constantes $A,B,C$ à partir d'une équation classique d'une droite ou d'un cercle ? Et réciproquement ?


Merci d'avance pour toutes vos suggestions.
Vivent les Maths et Vive LaTeX...!!
Cordialement,
Niels.
Niels
Déca-utilisateur
 
Messages: 29
Inscription: Jeudi 17 Mai 2007, 12:25
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Publicité

Messagepar Bruno » Mercredi 30 Mai 2007, 05:25

Bonjour Niels.

Tu connais sans aucun doute la nature de l'image d'un cercle ou d'une droite par une translation ou par une similitude directe. Ton problème sa ramène donc à rechercher la même image par la transformation de $\C^*$ qui à $z$ associe son inverse.

C'est peut-être un peu plus simple.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand

Messagepar Niels » Mercredi 30 Mai 2007, 20:26

Salut Bruno !

Merci pour ta réponse, mais justement, c'est ce que je comptais faire.

Je reformule donc ma question :

Pour déterminer l'image d'un cercle ou d'une droite par l'homographie, il nous faut déterminer l'image de ce cercle ou de cette droite par la fonction inverse.

Alors voilà la démarche que je propose :

1) On détermine l'équation de la figure étudiée.

2) On traduit l'équation du cercle ou de la droite en $Az\bar{z}+Bz+\bar{B}\bar{z}+C=0.$

3) On en déduit que l'image par la fonction inverse a pour équation $Cz\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+A=0$

4) On fait machine arrière, et on revient à une équation classique de droite ou de cercle.

Que pensez-vous de ceci ? Est-ce que par hasard vous connaîtriez une méthode plus rapide ?

Puis j'ai une autre question :

Comment faire pour déterminer l'image d'une demi-droite, ou d'un demi-cercle donné ?

Il me semble qu'il faudrait déterminer l'image des extrémités du demi-cercle, puis l'image d'un point intermédiaire pour être en mesure d'identifier la portion qui se trouve "à l'arrivée".

Qu'en dites-vous ?

Bonne soirée !
Cordialement,
Niels.
Vivent les Maths et Vive LaTeX...!!
Cordialement,
Niels.
Niels
Déca-utilisateur
 
Messages: 29
Inscription: Jeudi 17 Mai 2007, 12:25
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Messagepar Bruno » Jeudi 31 Mai 2007, 06:15

Bonjour Niels.

Je ne vois absolument pas l'intérêt de "faire marche arrière". Je te propose la démarche suivante :

1°) Tout cercle du plan complexe a une équation complexe de la forme $Az\bar z + Bz + \overline B\bar z + C = 0$ et réciproquement cette équation caractérise un cercle si $A \neq 0$ ou en une droite dans le cas contraire.

2°) La transformation par passage à l'inverse transforme donc un cercle qui ne passe pas par l'origine $(C \neq 0)$ en un cercle et en une droite sinon. Comme cette transformation est involutive, tu tiens là tout ce qui concerne la droite et le cercle.

3°) Le cas de la droite qui passe par l'origine et qui correspond à $A = 0$ et $C = 0$.

Quant au reste, si l'on demande des précisions, je pense effectivement qu'il faut rechercher l'image des bornes et celle d'un point.
Bruno
Bruno
Kilo-utilisateur
 
Messages: 116
Inscription: Vendredi 19 Août 2005, 18:09
Localisation: Clermont-Ferrand


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Ahrefs [Bot] et 4 invités