groupes cycliques - monogènes

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groupes cycliques - monogènes

Messagepar paspythagore » Jeudi 26 Septembre 2013, 19:59

Bonjour.
Une question que j'ai déjà posée sous d'autres formes.
Soit $p$, un nombre premier. Montrer qu'un groupe d'ordre $p$ est cyclique (donc abélien).

Soit $g$ un élément de $G$ différent du neutre, alors l'ordre de $g$ est strictement supérieur à $1$ et par le théorème de Lagrange, c'est un diviseur de $p$.
Comme $p$ est premier, l'ordre de $g$ est donc égal à $p$.
Le sous-groupe engendré par $g$ est donc le groupe entier. pourquoi ?
Ce dernier est donc monogène, c.a.d. cyclique.
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Re: groupes cycliques - monogènes

Messagepar rebouxo » Jeudi 26 Septembre 2013, 22:22

Ben, ils ont le même nombre d'éléments, comme $p$ est élément de $G$, le groupe engendré par $p$ est passé par tous les éléments de $G$.

Olivier
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Re: groupes cycliques - monogènes

Messagepar Greg16 » Vendredi 27 Septembre 2013, 20:43

L'ordre d'un élément est le cardinal du sous-groupe engendré par cet élément (c'est une définition possible). Du coup un élément $g$ d'ordre $p$ engendre un sous-groupe, et ce sous-groupe $<g>$ est un sous-ensemble de $G$ de même cardinal que $G$, par le raisonnement arithmétique que tu as proposé. Par suite $<g>=G$, et tout élément de $G$ est une puissance de $g$.
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Re: groupes cycliques - monogènes

Messagepar paspythagore » Samedi 28 Septembre 2013, 12:20

Merci.
Si "L'ordre d'un élément est le cardinal du sous-groupe engendré par cet élément" est une définition d'un sous-groupe engendré, je comprends.
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Re: groupes cycliques - monogènes

Messagepar Greg16 » Samedi 28 Septembre 2013, 13:08

C'est bien la définition proposée par Ramis-Deschamps-Odoux.
Greg
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Re: groupes cycliques - monogènes

Messagepar Tonn83 » Lundi 21 Octobre 2013, 16:13

paspythagore a écrit:Merci.
Si "L'ordre d'un élément est le cardinal du sous-groupe engendré par cet élément" est une définition d'un sous-groupe engendré, je comprends.

Dans un groupe $G$, un élément $x$ est dit d'ordre fini s'il existe un entier naturel $n$ tel que $x^n=e$$e$ désigne le neutre de $G$. Dans ce cas, le plus petit entier naturel $n$ qui satisfait $x^n=e$ s'appelle l'ordre de $x$.
En outre, on dispose d'un morphisme $\vraphi:\Z\to G$ donné par $\varphi(q)=x^q$. L'image de $\varphi$ est le sous-groupe de $G$ engendré par $x$, ce que Greg note $\langle x\rangle$. On peut facilement vérifier que $x$ est d'ordre fini si et seulement si $\langle x\rangle $ est une partie finie de $G$ et dans ce cas l'ordre de $x$ est égal au cardinal de $\langle x\rangle$. La définition donnée par Greg est équivalente à celle que vous connaissiez vraisemblablement.
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