Groupes abéliens et facteurs invariants

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Groupes abéliens et facteurs invariants

Messagepar paspythagore » Dimanche 08 Décembre 2013, 16:56

Bonjour.
Il reste quelques zones d'ombre sur ma compréhension de ces notions.
Déterminer à isomorphisme prés, les groupes abéliens d'ordre $8$ et $72$.
On explicitera leurs facteurs invariants.

Si $G$ est d'ordre $8$, c'est $2$-groupe. Les 3 possibilités sont : $\Z/8\Z$, $\Z/4\Z\times\Z/2\Z$ et $\Big(\Z/2\Z\Big)^3$.
Si $G$ est d'ordre $72$, alors $G\simeq G(2)\times G(3)$ avec $G(2)$ d'ordre $8$ et $G(3)$ d'ordre $9$.

Il y a deux possibilités pour $G(3)$ : $G(3)=\Z/9\Z$ ou $G(3)=\Z/3\Z\times\Z/3\Z$.

Il y a donc $8$ possibilités pour $G$ :

$\Z/8\Z\times\Z/9\Z\simeq\Z/72\Z$.
$\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$
$\Z/4\Z\times\Z/2\Z\times/9\Z\simeq\Z/36\Z\times\Z/2\Z$
$\Z/4\Z\times\Z/2\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z12\Z\times\Z/6\Z$
$(\Z/2\Z)^3\times\Z/9\Z\simeq\Z/18\Z\times\Z/2\Z\times\Z/2\Z$
$(\Z/2\Z)^3\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/6\Z\times\Z/6\Z\times\Z/2\Z$


Je ne comprends ce que veux dire : $\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$.
Il n'y a pas d"élément d'ordre $24$ dans le premier cas mais il y en a un dans le second.

De plus, il n'y a pas la réponse à la seconde question : On explicitera leurs facteurs invariants.

Est ce :
$\Z/72\Z$ : 72,
$\Z/24\Z\times\Z/3\Z$ : 24 et 3,
$\Z/36\Z\times\Z/2\Z$ : 36 et 2,
etc.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: Groupes abéliens et facteurs invariants

Messagepar balf » Lundi 09 Décembre 2013, 02:36

paspythagore a écrit:Je ne comprends ce que veux dire : $\Z/8\Z\times\Z/3\Z\times\Z/3\Z\simeq\Z/24\Z\times\Z/3\Z$.
Il n'y a pas d"élément d'ordre $24$ dans le premier cas mais il y en a un dans le second.

Cela veut dire qu'on applique le théorème chinois aux deux premiers facteurs. D'autre part, l'élément (1,1,0) dans le produit de gauche ne serait un tout petit peu d'ordre (additif) 24 ?

De plus, il n'y a pas la réponse à la seconde question : On explicitera leurs facteurs invariants.
Est ce :
$\Z/72\Z$ : 72,
$\Z/24\Z\times\Z/3\Z$ : 24 et 3,
$\Z/36\Z\times\Z/2\Z$ : 36 et 2,
etc.

C'est bien cela. Remarquez toutefois qu'il s'agit d'une suite (finie). On énonce donc que, p. ex., la suite des facteurs invariants est (24, 3).

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3865
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Proximic [Spider] et 3 invités