groupe quotient et sous groupe-cycliques

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groupe quotient et sous groupe-cycliques

Messagepar paspythagore » Mercredi 01 Mai 2013, 09:30

Bonjour.
J'ai toujours du mal avec les groupes quotient, merci de m'éclairer.
Montrer que pour tout $n\in\N$, le groupe $\Q/\Z$ contient exactement un sous-groupe cyclique d'ordre $n$.

Soit $G=\langle g\rangle$ un sous-groupe cyclique de $\Q/\Z$.
L'élément $g$ possède un unique représentant $\alpha\in\Q\cap[0,1[$ et on a $n\alpha\in\Z$.
Par conséquent $\alpha\in\left{\dfrac{1}{n},\cdots,\dfrac{n-1}{n}\right}$

Je ne comprends pas qu'elle est la différence entre $\Q/\Z$ et $\Q$, c'est toujours des "ensembles de fractions rationnelles" ?
Je ne comprends non plus le reste de la démonstration (le principe), en particulier le $\Q\cap[0,1[$.
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Re: groupe quotient et sous groupe-cycliques

Messagepar balf » Mercredi 01 Mai 2013, 11:15

Ce sont les nombres rationnels considérés à un entier près. C'est le même principe que R/2πZ utilisé en trigonométrie, la mesure des angles,&c.

Si les rationnels sont écrits sous forme décimale, cela signifie qu'on met dans la même classe les rationnels qui ont la même partie décimale. Sous forme fractionnaire, on regroupe ensemble, p. ex., 2/3,5/3, 8/3, –1/3, –4/3,… On voit bien que, par définition, chaque classe contient un élément et un seul dans [0,1[.

B.A.
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Re: groupe quotient et sous groupe-cycliques

Messagepar paspythagore » Mercredi 01 Mai 2013, 17:55

Merci balf.
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