Groupe produit

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Lundi 01 Avril 2013, 14:14

:weight_lift: Dur! Dur!

On a montré qu'à l'application $F:(h,k)\mapsto hk$
il "correspondait" une application $G:(h',k')\mapsto x\mapsto hk$

Comme elles ont le même ensemble d'arrivée, il y a une bijection entre les ensembles de départ. Celui de $F$ a pour cardinal $|H||K|$, pour l'autre le résultat est donné mais, malgré votre aide, j'ai du mal à me le représenter.

Pourquoi le cardinal des $(h',k')$ est $|HK|$ ?

Notamment que fait t-on des $(h',k')$ tels que $F('h,k)\neq F(h,k)$ ?
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Re: Groupe produit

Messagepar balf » Lundi 01 Avril 2013, 15:42

paspythagore a écrit:On a montré qu'à l'application $F:(h,k)\mapsto hk$
il "correspondait" une application $G:(h',k')\mapsto x\mapsto hk$

Il n'a pas été question de cette application jusqu'à présent, ou je ne comprends pas trop ce que vous voulez dire. D'ailleurs, je ne comprends pas ce que représente pour vous x|—> hk
Comme elles ont le même ensemble d'arrivée, il y a une bijection entre les ensembles de départ. Celui de $F$ a pour cardinal $|H||K|$, pour l'autre le résultat est donné mais, malgré votre aide, j'ai du mal à me le représenter.

A priori, l'ensemble de départ de G, tel que vous le définissez, est le même que celui de F : H × K.
Pourquoi le cardinal des $(h',k')$ est $|HK|$ ?

Je n'ai pas dit ça ; il est égal à |H|·|K| (voir ci-dessus).
Notamment que fait t-on des $(h',k')$ tels que $F('h,k)\neq F(h,k)$ ?

Rien de spécial ; je crois que le problème vient de ce que vous n'adoptez pas le bon point de vue : on a une application surjective de H × K dans le sous-groupe que l'on note HK, définie par (h,k) |—> hk. Comme toutes les applications, elle permet de définir une partition de H × K en regroupant dans la même classe les couples qui ont la même image dans HK. Dès lors, le cardinal de H × K est égal à la somme des cardinaux de chacune des classes. Le nombre de classes est égal à |HK|, puisque l'application est surjective. D'autre part, toutes les classes ont le même nombre d'éléments, savoir |H $\cap$ K|, à cause de la bijection entre la classe d'un couple (h,k) et H $\cap$ K.

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Re: Groupe produit

Messagepar balf » Lundi 01 Avril 2013, 15:52

J'ai retrouvé où intervenait G : à un élément x de H $\cap$ K, il fait correspondre l'élément (hx, x$^{\mathsf{-1}}$k) de F$^{\mathsf{-1}}$(F(h,k), le couple (h,k) étant fixé. Autrement dit, il définit une application (bijective) de H $\cap$ K vers la classe de (h,k).

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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Septembre 2013, 20:42

Bonjour.
Je viens de tomber sur un exercice qui me rappelle que je n'avais déjà pas compris il y a 6 mois. Comme c'est le même que celui-ci ou un cas particulier, je souhaiterai que vous m'aidiez à le résoudre pour ensuite refaire celui que j'avais déjà énoncé.
Soit $G$ un groupe fini ; on suppose qu'il existe deux sous-groupes $H$ et $K$ de $G$ tels que pgcd$(|H|,|K|)=1$, ce qui entraine $H\cap K=\{e\}$.
En déduire que $|HK|=|H|.|K|$

Je ne sais pas où aller.
Faut il commencer par :
$\forall h,h'\in H, \forall k, k'\in K$ et essayer de trouver $hk\neq h'k'$ ?
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Messagepar balf » Lundi 23 Septembre 2013, 22:19

On suppose qu'il existe des couples (h,k) et h',k') tels que hk = h' k' et se débrouille pour montrer que nécessairement h = h' et k = k'. Comme la réciproque est évidente, cela suffit pour montrer qu'on obtient une bijection en associant à un élément x de HK l'unique couple (h, k) tel que hk = x.

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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Mercredi 25 Septembre 2013, 17:15

Bonjour.
Je tente de nouveau cet exercice :
On a $H\cap K=\{e\}$.
On suppose qu'il existe $h,h'\in H$ et $k,k'\in K$ tel que $hk=h'k'$
On a donc $h=h'k'k^{-1}\in H$ avec $h'\in H$, donc $k'k^{-1}\in H\cap K$,
c'est à dire $k'k^{-1}=e$ donc $k'=k$

Donc $\forall h,k\in H\times K, \exists!x\in HK, x=hk$.

Donc $|HK|=|H|.|K|$
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Messagepar balf » Mercredi 25 Septembre 2013, 17:52

C'est presque ça., mais vous n'avez pas montré que h = h' . Vous pouvez obtenir les deux en récrivant l'égalité sous la forme :
h'⁻¹ h = k' k⁻¹.
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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Jeudi 26 Septembre 2013, 19:40

Merci.
Puisque j'ai compris cet exercice, je vais retenter le précédent.

pour tout ensemble fini $X$, on note $|X|$ le cardinal de $X$.
Soit $G$ un groupe fini. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$.
Le but de cet exercice est de démontrer l'identité :

$$|H\cap K||HK|=|H||K|,$$


a) Soit :

$$F:H\times K\to HK,$$


$$(h,k)=hk.$$


la surjection naturelle.
Soit $(h,k)$ et $(h',k')$ deux éléments de $H\times K$. Montrer que :

$$F(h,k)=F(h',k')$$


si et seulement s'il existe $x\in H\cap K$ vérifiant $h'=hx$ et $ k'=x^{-1}k$.

On veut démontrer $hk=h'k'\Longrightarrow\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.

On choisit $x\in H\cap K$, on a donc $x\in H$ et $x^{-1}\in K$.

Donc aussi $hx\in H$ et $x^{-1}k\in K$, donc $hxx^{-1}k\in HK$.
Or $h'k'=hxx^{-1}k=hk$ avec $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.

Pour démontrer : $\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow hk=h'k'$.
$\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow h'k'=hxx^{-1}k=hk$

b) En déduire que, pour tout $(h,k)\in H\times K$, on a une bijection entre $F^{-1}(\{F(h,k)\})$ et $H\cap K$.

$F^{-1}(F(h,k))=F^{-1}(hk)=\{h',k'|h'k'=hk\}$
Pour chaque valeur fr $(h',k')$, il existe un unique $x\in h\times K$ tel que $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.
Il y a donc une bijection qui à chaque couple $(h',k')$ de $F^{-1}(F(h,k))$ associe un unique $x$ de $H\cap K$ tel que $x=h^{-1}h'$.
c) conclure.
Le but de cet exercice est de démontrer l'identité :

$$|H\cap K||HK|=|H||K|,$$


$|H\cap K||HK|=|H||K|,$
Notre bijection signifie que 2 ensembles ont le même nombre d'éléments ?
Je pensais $|H\times K| = |H|\cdot|K|=|H\cap K|$, parce qu’il y a une bijection entre $H\times K$ et $H\cap K$.
Mais le résultat à démontrer n'est pas celui là, je n'ai donc pas compris que représentent les 2 ensembles (de départ et d'arrivée) de la bijection du b).
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Re: Groupe produit

Messagepar balf » Jeudi 26 Septembre 2013, 23:05

Pour a), vous ne montrez pas la première implication (si hk = h' k', il existe x dans H ∩ K tel que …), mais seulement la réciproque. Dans cette implication, il ne peut s'agir de prendre un x a priori, mais (h,k) et (h',k') étant donnés, de montrer qu'il existe bien un tel x, c.-à-d. de l'exprimer en fonction de h, h', k, k'.

b) L'unicité de x n'a pas été montrée. C'est elle qui détermine le fait qu'on ait une bijection (et en même temps, que l'application F existe).

Mais H × K n'est pas en bijection avec H ∩ K ! Ce n'est pas ce que dit la question précédente. Elle dit seulement que chacun des F⁻¹(F(hk)) esr en bijection avec H ∩ K. Mais ce ne sont que des parties de H × K.

B.A.
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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Samedi 28 Septembre 2013, 10:18

balf a écrit:Pour a), vous ne montrez pas la première implication (si hk = h' k', il existe x dans H ∩ K tel que …), mais seulement la réciproque. Dans cette implication, il ne peut s'agir de prendre un x a priori, mais (h,k) et (h',k') étant donnés, de montrer qu'il existe bien un tel x, c.-à-d. de l'exprimer en fonction de h, h', k, k'.
$h'k'=hk$ donc $h'=hkk'^{-1}$ et $k'=h'^{-1}hk$
Comme $h'$ et $h$ appartiennent à $H$, $kk'^{-1}\in H\cap K$, et
Comme $k'$ et $k$ appartiennent à $K$, $h'^{-1}h\in H\cap K$.
D'autre part $kk'^{-1}\cdot h'^{-1}h=e$, donc $kk'^{-1}=(h'^{-1}h)^{-1}\in H\cap K$.
Donc il existe $x\in H\cap K, h'=hx\text{ et }k'=x^{-1}k$

Du coup, ça montre aussi l'unicité de $x$.

b) L'unicité de x n'a pas été montrée. C'est elle qui détermine le fait qu'on ait une bijection (et en même temps, que l'application F existe).

Mais H × K n'est pas en bijection avec H ∩ K ! Ce n'est pas ce que dit la question précédente. Elle dit seulement que chacun des F⁻¹(F(hk)) esr en bijection avec H ∩ K. Mais ce ne sont que des parties de H × K.

B.A.

$\forall(h,k)\in H\times K$, on a une bijection entre $F^{-1}\Big(\big\{F(h,k)\big\}\Big)$ et $H\cap K$.

Cela veut dire qu'il y a une bijection entre l'ensemble des $(h',k')$ (il y en a $|HK|$ ensembles) tels que $(h',k'))\in H\times K,h'k'=hk$ et $H\cap K$ (les ensembles des $(h',k')$ ont donc $|H\cap K|$ éléments).

Donc $|H\cap K||HK|=|H||K|$.
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Re: Groupe produit

Messagepar balf » Dimanche 29 Septembre 2013, 19:00

C'est ça. Pour a), on peut faire plus court en déduisant directement de hk = h' k' l'égalité h'⁻¹h = k' k⁻¹.

B.A.
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Re: Groupe produit

Messagepar paspythagore » Dimanche 29 Septembre 2013, 19:41

Merci.
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