Géométrie dans l'espace, section plan/sphère

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Géométrie dans l'espace, section plan/sphère

Messagepar gayzou » Mardi 18 Avril 2006, 12:51

Salut à tous, voila en ce moment je fais de l'espace et je ne suis pas très doué :

Ma question serait donc de savoir quelle est la méthode pour determiner les caracteristiques d'un cercle (centre, rayon) issu de la section d'une sphère et d'un plan. J'ai regardé les autres questions a ce sujet sur le forum mais je n'ai pas trop avance
Dans mon exo il s'agit de :
la sphere

$$S\ :\ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4 = 0$$


le plan :

$$P\ :\ x + y - 3z + 4 = 0$$



Merci de m'aider, ca fait quelques temps que je lutte sur cette question.
A bientot (c est surtout la méthode qui m'interesse)

[Edit Arnaud : LaTeX : des dollars autour et ça aurait été bien, c'est pas si compliqué]
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Messagepar rebouxo » Mardi 18 Avril 2006, 14:45

Je ne vois pas de méthode générale, sans ENORMEMENT de calcul. Il faut faire preuve d'esprit de finesse. La méthode dans ce type d'exercices, c'est de se ramener à un plan bien choisi. Cette méthode n'est pas très générale.

La sphère d'équation $x^2+y^2+z^2 -2x + 4y -4 = 0 $ est de centre $O(1;-2;0)$ et de rayon $3$ (utiliser les identités remarquables, pour le prouver).

Les points $A(-4;0;0)$ et $B(0;-4;0)$ appartiennent au plan $P$ d'équation $x+y-3z+4=0$.

Le problème est alors ramené dans le plan d'équation $z=0$ à l'intersection de la droite $(AB)$ et du cercle de centre $(1;-2)$ et de rayon $3$.

Il faut trouver une équation de la droite $(AB)$ (rep : $y = -x -4$).

On cherche alors les coordonnées des points $(x;-x-4)$ appartennant à $(AB)$ et au cercle de centre $O$ et de rayon $3$, dont l'équation est $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$.

On est ramené à la résolution de l'équation : $x^2 + x - 2 = 0$ dont les solutions sont $x_1 = 1$ et $x_2 = -2$.

On alors ici deux points de la sphère qui appartiennent au plan $P$.

Le cercle d'intersection de la sphère et du plan est alors le cercle de centre le milieu $I$ de $[MN]$ et de rayon $\frac{MN}{2}$ (sauf erreur $I(-0.5;-3.5;0)$ et $MN = 3\sqrt{2}$.

Voilà, ce que je ferais.
A plus Oli
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Messagepar gayzou » Mardi 18 Avril 2006, 18:08

Bonsoir, pour l'équation de la sphère je comprends, pour la determination de A et de B également mais apres je ne vois pas comment on passe d'une étape à une autre, comment on ramene tout dans le meme plan, (AB) et la sphere qui du coup se transforme en cercle.
J'ai un peu de mal à distinguer le rapport entre les differentes etapes.
De plus, pourquoi (AB) et le cercle se couperaient-ils ?(c'est un hasard la)
Merci d'aider un pauvre TS en difficultés !
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Messagepar sotwafits » Mardi 18 Avril 2006, 19:25

Il y a moyen de procéder "géométriquement", sans trop de calculs :

-On cherche le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère (en utilisant la forme canonique)
-On cherche le centre $\omega$ du cercle : c'est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $P$. Pour le trouver on traduit les conditions suivantes :
  • Le vecteur $\overrightarrow{\Omega\omega}$ doit être normal à $P$
  • $\omega$ appartient à $P$

-Enfin, le rayon $r$ du cercle intersection est obtenu par la simple application du théorème de Pythagore : $r=\sqrt{R^2-\Omega\omega^2}$
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Messagepar rebouxo » Mardi 18 Avril 2006, 19:41

Fais des paragraphes, cela te servira pour la philo :D. J'ai failli t'envoyer un texte un peu acide, car je n'avais pas bien lu ton message. Et je pense que l'absence de paragraphe y est pour quelque chose.

Utilise les balises LaTeX.

Bon reprenons :


Je te fais remarquer que le point $O$ est dans le plan d'équation $z=0$, puisque sa dernière coordonnée est nulle.

L'intersection de la sphère par le plan d'équation $z=0$ est un cercle de rayon $3$. Fais un dessin pour t'en convaincre.

Les points $A$ et $B$ sont aussi dans le plan d'équation $z=0$. Ce sont des points du plan $P$, donc la droite $(AB)$ est une droite du plan $P$.

Si la droite $(AB)$ coupe le cercle, alors elle coupe aussi la sphère, n'est-ce pas ?
Et les points d'intersection appartiendront à l'intersection de la sphère et du plan $P$.

Donc, si on arrive à résoudre le problème de l'intersection de la droite et du cercle dans le plan d'équation $z=0$, alors on aura résolu le problème dans l'espace !

Ta dernière question est très pertinente. A priori, on n'en sait rien (et la solution du pb pourrait être qu'il n'y a pas de solution, c'est une solution. Tu dois avoir dans ton cours que l'intersection d'un sphère et d'un plan comporte 3 cas : un cercle, un point, rien.), mais j'ai fais un petit dessin, qui m'a permis d'être sur de mon fait. Dans le cas contraire, mon équation du second degré aurait eu un discriminant négatif... J'en aurais conclu que le plan ne coupe pas la sphère.

A plus.
Oli
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Messagepar rebouxo » Mardi 18 Avril 2006, 20:20

sotwafits a écrit:Il y a moyen de procéder "géométriquement", sans trop de calculs :

-On cherche le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère (en utilisant la forme canonique)
-On cherche le centre $\omega$ du cercle : c'est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $P$. Pour le trouver on traduit les conditions suivantes :
  • Le vecteur $\overrightarrow{\Omega\omega}$ doit être normal à $P$
  • $\omega$ appartient à $P$
-Enfin, le rayon $r$ du cercle intersection est obtenu par la simple application du théorème de Pythagore : $r=\sqrt{R^2-\Omega\omega^2}$


J'aimerais bien voir les calculs. En particulier du projeté. Parce que j'ai pensé à cette méthode, mais je ne vois pas comment y arriver. Si tu avais le temps ?
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Messagepar sotwafits » Mardi 18 Avril 2006, 21:14

rebouxo a écrit:J'aimerais bien voir les calculs. En particulier du projeté. Parce que j'ai pensé à cette méthode, mais je ne vois pas comment y arriver. Si tu avais le temps ?

Le vecteur $\vec n(1,1,-3)$ est normal au plan.

Le vecteur $\overrightarrow{\Omega\omega}$ doit être colinéaire à $\vec n$, donc s'écrire $\alpha\vec n$ : il n'y a donc qu'une seule inconnue $\alpha\in\R$ à trouver, et le point $\omega$ sera complètemet déterminé.
Il suffit de trouver l'unique $\alpha$ tel que le point $\omega$ ainsi défini appartienne au plan (je n'ai pas fait le calcul, mais tout ce qu'il y a à faire c'est la recherche des coordonnées d'un vecteur à partir des coordonnées des extrémités et inversement).

Ensuite pour calculer le rayon du cercle on n'a même pas besoin de chercher précisément les coordonnées de $\omega$ : seule compte la distance de $\Omega$ au plan, c'est à dire $|\alpha|\|\vec n\|$
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Messagepar gayzou » Mercredi 19 Avril 2006, 09:48

Bonjour sotwafits, j'ai aussi essayé ta technique mais seulement je trouve un resultat different de celui de rebouxo :

- Si j'ai bien compris $\overrightarrow{\Omega\omega} = \alpha\vec n$
J'en deduis donc (avec une methode analogue a celle que l'on emploie pour determiner une representation parametrique) : $\omega (x ; y ; z)$
$x =  \alpha +1$
$y =  \alpha -2$
$z = -3 \alpha$

Or $\omega \in P $ donc $ \alpha +1 +  \alpha -2 -3 ( -3 \alpha) + 4 = 0$
soit $11\alpha = -3  \leftrightarrow \alpha = -3/11$

ce qui nous donne :
$x = 8/11$
$y = -25/11$
$z = 9/11$

Ce qui est en desaccord avec rebouxo, donc j aimerai bien savoir ou est mon erreur.

- Sinon, pourquoi le centre du cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphere sur $P$ ? et pour le rayon, je ne vois pas non plus dans quelles mesures on utilise le théorème de Pythagore ?

Merci pour votre aide ! (j'ai essayé de m'appliquer pour les paragraphes et le LaTeX :D )
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Messagepar rebouxo » Mercredi 19 Avril 2006, 10:54

Oui, super, c'est beaucoup plus clair comme cela.

J'ai le même problème que toi, avec les mêmes résultats. Cela ne correspond pas. Et je ne vois pas ou est l'erreur. J'ai essayé de faire une représentation en 3D, mais aucun des logiciels que je maîtrise et/ou possède ne me permet de faire cette représentation.

A quand un logiciel de géométrie dynamique en 3D (autre que Geospace et Cabri3D, qui n'est pas pratique du tout !)

Pour ta question sur le projeté orthogonal, le centre du cerle intersection de la sphère et du plan est sur la normale au plan, ce qui explique aussi pourquoi il y a du Pythagore, puisque l'on a un triangle rectangle. Faire un dessin.

A plus, Oli
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Messagepar sotwafits » Mercredi 19 Avril 2006, 11:22

gayzou a écrit:- Sinon, pourquoi le centre du cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphere sur $P$ ? et pour le rayon, je ne vois pas non plus dans quelles mesures on utilise le théorème de Pythagore ?

Les 2 questions sont liées.

Le fait que le centre du cercle soit le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan, ça me semble évident géométriquement. J'en donne la preuve après. Le théorème de Pythagore en découle : il suffit de faire une figure avec les points $\Omega$, $\omega$ et $M$ (un point quelconque du cercle). Le triangle formé est rectangle en $\omega$.

Voici une preuve des 2 propriétés en même temps : soit $M$ un point du cercle. On doit montrer que $\overrightarrow{M\omega}\cdot\overrightarrow{\omega\Omega}=0$

Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ : $\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\bigl((\vec u+\vec v)^2-\vec u^2-\vec v^2\bigr)$

Donc $\overrightarrow{M\omega}\cdot\overrightarrow{\omega\Omega}=
 \dfrac12\bigl(\overrightarrow{M\Omega}^2-\overrightarrow{M\omega}^2-
 \overrightarrow{\omega\Omega}^2\bigr)=\dfrac12(R^2-r^2-\omega\Omega^2)\qquad (1)$

Soit $N$ le point du cercle diamétralement opposé à $M$.

On a comme précédemment : $\overrightarrow{N\omega}\cdot\overrightarrow{\omega\Omega}= \dfrac12(R^2-r^2-\omega\Omega^2)\qquad (2)$

En ajoutant $(1)$ et $(2)$ et en tenant compte du fait que $\overrightarrow{N\omega}+\overrightarrow{M\omega}=\vec0$, on obtient
$R^2-r^2-\omega\Omega^2=0$, donc on a montré à la fois le théorème de Pythagore et le fait que $\overrightarrow{M\omega}\cdot\overrightarrow{\omega\Omega}=0$, et comme ceci est vrai pour tout point $M$ du cercle, $\omega$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan.
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Messagepar gayzou » Mercredi 19 Avril 2006, 15:43

Merci ca va la je commence à comprendre, mais j'ai le meme probleme que rebouxo, est ce que la reponse que j ai trouvé : $\omega (8/11 ; -25/11 ; 9/11) $ est correcte ?

Car si c'est bon, la plus grande partie du travail aura été effectuée, et après il ne restera plus que pythagore, et ca, je gère ! La si mon centre est bon grace à vous tout est compris, et le rayon c'est facile !
Merci !
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Messagepar rebouxo » Mercredi 19 Avril 2006, 22:22

Bon après avoir fait un bô dessin en 3D (le tout avec pstricks, dont une sphère, légérement galère, mais cela fais certainement progresser ma vision dans l'espace. Au passage si on avait un module pstricks qui sait faire ce que geospace sait faire en géométrie 3D, qu'est-ce que cela serait bien.) je constate que j'ai fais une erreur de raisonnement. Certes les points $N$ et $M$ sont bien à l'intersection de la sphère et du plan, mais ce n'es pas suffisant pour tracer un unique cercle, car rien ne me dit qu'il sont diamétralement opposés sur le cercle intersection. D'ou l'erreur.
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Messagepar gayzou » Mercredi 19 Avril 2006, 22:26

dommage, moi qui commencais un à comprendre cette méthode là, il me semble donc que celle de sotwafits soit ici celle à privilégier, je vais utiliser le point
$\omega (8/11 ; -25/11 ; 9/11)$ afin de résoudre mon problème.
Merci à vous deux pour votre aide précieuse !
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Messagepar rebouxo » Jeudi 20 Avril 2006, 09:29

Je ne suis toujours pas arriver à tracer le cercle d'intersection, mais sans savoir si c'est un problème de représentation (les techniques utilisées sont assez frustres) ou si il y a un problème ailleur. Mais en me levant ce matin, je sais comment déterminer deux autres points de ce cercle. Avec cela c'est bien le bout du monde si je n'arrives pas à déterminer le centre de ce cercle.

Salut (sinon,le rayon du cercle est de $\frac{3}{11}\sqrt{11}$).
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Messagepar gayzou » Jeudi 20 Avril 2006, 15:28

Salut, moi je trouve que la distance $\Omega\omega = (3 \sqrt{11})/11$
Et que le rayon du cercle est de : $ r = 3( \sqrt{10/11})$
Ou est le probeleme svp, je pensais pourtant ne pas m être trompé ...
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Messagepar rebouxo » Jeudi 20 Avril 2006, 18:05

C'est bon, il fallait lire $3\frac{\sqrt{110}}{11}$, j'ai oublié le $0$.
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Messagepar gayzou » Vendredi 21 Avril 2006, 10:04

ok, merci beaucoup (elle n'était pas si évidente que ca cette question !)
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Messagepar gzz » Samedi 07 Octobre 2006, 17:22

bonjour je suis entierement d'accord avec les résultats mais toute fois comment trouver les coordonnées des points M et N avec MN diamètre du cercle de centre w
merci de m'aider.
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Messagepar Samurai_2k5 » Samedi 07 Octobre 2006, 19:14

gzz a écrit:bonjour je suis entierement d'accord avec les résultats mais toute fois comment trouver les coordonnées des points M et N avec MN diamètre du cercle de centre w
merci de m'aider.


L'idée centrale est de passer de la sphere à un plan qui passe par le Centre la sphére, et c'est justement cette propriété qui permet d'avoir $MN$ diametre du cercle intersection. Dans notre cas c'est le plan $z=0$.
_ rien a faire, je suis perdu
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