Géométrie affine et euclidienne

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Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Mardi 08 Mars 2011, 11:07

Bonjour,
je regarde un sujet donné sur la géométrie affine et euclidienne et je ne sais pas du tout faire cet exercice :


Exercice 3. Soient a et b deux nombres réels et soit $\varepsilon$ le sous-ensemble de
$\R^4$ donné par les équations :
$\left \{ \begin{array}{cccccccccc}     x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\     x & -&y&+&z&-&2t&=&b \\ x & +&3y&+&z&+&4t&=&a\\ \end{array} \right.$

A quelle condition sur le couple $(a; b)$ l'ensemble $\varepsilon$ est-il non vide ? Lorsque
c'est le cas, on sait par le cours que c'est un sous-espace affine de $\R^4$ ; donnez-
en alors, en fonction de $a$ et $b$, un point et une base de l'espace directeur.


Je ferai la première question plus tard. pour "on sait par le cours que c'est un sous-espace affine de $\R^4$ ", je n'ai pas ça dans mon cours.

Pour la deuxième question, je n'ai aucun exercice corrigé et je ne sais pas du tout par quel bout prendre l'exercice. Je me doute que l'on se dirige vers une matrice mais là non plus, je n'ai rien dans mon cours d'analyse, sur les matrices.

Merci de votre aide.
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Re: géometrie :

Messagepar OG » Mardi 08 Mars 2011, 13:48

Bonjour

Ici en combinant les lignes 1, 2 et 3, tu dois aboutir à une relation de
compatibilité sur le second membre pour qu'une solution existe.

Pour ce qui est de la solution à exprimer, tu te retrouves avec deux équations affines
et l'ensemble des solutions s'exprime sous la forme "solution particulière"$+V$
$V$ est un sous espace vectoriel dont tu dois déterminer une base. La démarche
consiste à trouver une solution particulière (tu te débrouilles) et ensuite à résoudre
un système du type $Ax=0$ qui est décrit comme sous espace vectoriel (tu détermines
une base) et voilà.

O.G.
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Mercredi 09 Mars 2011, 21:36

Merci pour la méthode.

Je peine sur l'application.

$\left \{ \begin{array}{cccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ x & -&y&+&z&-&2t&=&b \\ x & +&3y&+&z&+&4t&=&a\\ \end{array} \right.$

$\left \{ \begin{array}{cccccccccccccc}  x & +&y&+&z&+&t&=&1  \\ & -&4y&+&&&6t&=&b \\  & -&4y&&&+&46&=&a&-&b\\ \end{array} \right.$

$\left \{ \begin{array}{cccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ &&2y&&&+&3t&=&1&-&b \\ & &4y&&&+&6t&=&a&-&b\\ \end{array} \right.$

$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\  & &2y&&&+&3t&=&1&-&b \\ a&-&b&-&2&+&2b&=&a&+&b&-&2&=&0\\ \end{array} \right.$

L'ensemble $\varepsilon$ est non vide si $a+b=2$

Une base de $V$ est $(1, b-1, 0, 1-b)$ ?

Pour la matrice $A$ ?

$\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\0&2&0&3\end{pmatrix}$
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Mercredi 16 Mars 2011, 19:19

Bonjour,

je reprends :

$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ & &2y&&&+&3t&=&1&-&b \\ &a&+&b&-&2&=&0\\ \end{array} \right.$

L'ensemble $\varepsilon$ est non vide si $a+b=2$

$\varepsilon$ est le sous espace affine passant par le point $(1, 1-b, 0, 0)$ et dirigé par le plan de base $\left((0, 3, 0, -2), (-1, 1, -1, 1)\right)$
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar kojak » Mercredi 16 Mars 2011, 20:06

bonsoir,

Je ne comprends pas comment tu trouves ce dernier résultat

Tu es là :
paspythagore a écrit:
$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ & &2y&&&+&3t&=&1&-&b  \end{array} \right.$


Donc il faut poursuivre en exprimant $y$ en fonction de $t$, par exemple, avec la seconde puis en reportant dans la première, comme ça tu exprimes $x$ et $y$ en fonction de $z$ et $t$. De là, tu en déduiras un point et une base de ton espace affine
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Mercredi 16 Mars 2011, 21:49

Bonsoir.

$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ & &2y&&&+&3t&=&1&-&b \end{array} \right.$


$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x &=&1&-&y&-&z \\ y&=&\dfrac{1-b-3t}{2} \end{array} \right.$


$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x &=&\dfrac{2-1+b+3t-2z}{2}&=&\dfrac{1+b+3t-2z}{2} \\ y&=&\dfrac{1-b-3t}{2} \end{array} \right.$

$\varepsilon$ est le sous espace affine passant par le point $\left(\dfrac{1+b}{2}, \dfrac{1-b}{2}, 0, 0\right)$ et dirigé par le plan de base $\left((0, \dfrac{-b}{2}, 0, \dfrac{1}{3}), (\dfrac{b}{2}, 0, 1, -1)\right)$
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar kojak » Jeudi 17 Mars 2011, 07:41

LE principe est là, mais tu as oublié un $t$ dans le $x$ : $x=1-y-z-t$ d'où

$$ x=\dfrac{1+b}{2}-z+\dfrac12 t $$



Ton point est correct, mais pas tes vecteurs qui ont des cordonnées indépendantes de $b$.
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Jeudi 17 Mars 2011, 21:47

$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x & +&y&+&z&+&t&=&1 \\ & &2y&&&+&3t&=&1&-&b \end{array} \right.$


$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x &=&1&-&y&-&z&-&t \\ y&=&\dfrac{1-b-3t}{2} \end{array} \right.$


$\left \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} x &=&\dfrac{2-1+b+3t-2z-2t}{2}&=&\dfrac{1+b+t-2z}{2} \\ y&=&\dfrac{1-b-3t}{2} \end{array} \right.$

Les solutions sont $\{(\dfrac{1+b+t-2z}{2},\dfrac{1-b-3t}{2},z,t)\}$

Soit : $\left(\dfrac{1+b}{2},\dfrac{1-b}{2},0,0\right)+t\cdot\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{-3}{2}, 0,1\right)+z\cdot(-1, 0, 1, 0)$

$\varepsilon$ est le sous espace affine passant par le point $\left(\dfrac{1+b}{2}, \dfrac{1-b}{2}, 0, 0\right)$ et dirigé par le plan de base $\left((\dfrac{1}{2},\dfrac{-3}{2}, 0,1), (-1, 0, 1, 0)\right)$
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar kojak » Vendredi 18 Mars 2011, 10:56

Bonjour,

OK c'est correct.
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Re: Géométrie affine et euclidienne

Messagepar paspythagore » Vendredi 18 Mars 2011, 18:51

Merci et à bientôt.
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