Formule de Poisson pour les complexes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Formule de Poisson pour les complexes

Messagepar paspythagore » Samedi 15 Février 2014, 17:37

bonjour.
Il me manque une petite chose à comprendre dans la démonstration de ce théorème et un exercice simple d'application.
Merci de votre aide.

Soient $D=D(0,R)$ et $u:D\to\R$ une fonction harmonique sur $D$ et continue sur $\overline{D}$. Alors :

$$u(z)=\dfrac{1}{2\pi}\ds\int_0^{2\pi}u(Re^{i\theta})\dfrac{R^2-|z|^2}{|Re^{i\theta}-z|^2}d\theta$$


pour tout $z\in D$.

Preuve :il existe $f\in\mathcal{O}(D)$ telle que $u=Re\;f$. Posons $z^*=\dfrac{R^2}{\bar{z}}\in\C\setminus\overline{D}$.
La formule de Cauchy nous donne les égalités suivantes :

$f(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\partial D}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z)}d\zeta$ et $0=\dfrac{1}{2i\pi}\ds\int_{\partial D}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z^*)}d\zeta$

Je ne comprends pas la deuxième égalité.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: Formule de Poisson pour les complexes

Messagepar balf » Lundi 17 Février 2014, 22:06

Ce devrait être simplement parce que si z appartient à D (je présume qu'il s'agit du disque ouvert, ne connaissant pas vos conventions), z* appartient à C \ $\overline{\mathsf D}$. On applique le théorème intégral de Cauchy.

Toutefois, il y a un petit problème technique : la formule aussi bien que le théorème intégral de Cauchy réclament que la fonction f soit définie dans un voisinage de $\overline{\mathsf D}$ si l'on intègre sur ∂D.

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3865
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 2 invités