[MPSI] fonctions

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[MPSI] fonctions

Messagepar amine » Mercredi 16 Novembre 2005, 14:07

salut, voila une petite question qui m'a vraiment pris du temps.

soit f une fonction de classe $C^1$ sur $\R$ telle que:

$f(x) + f'(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$

Mq $f(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 16 Novembre 2005, 15:00

Il y a un résultat classique qui dit que: si $g'(x)\to 0$ en $+\infty$ alors $\dfrac{g(x)}{x}$ aussi. Il suffit d'appliquer ce résultat à la fonction $g(x)=xf(\ln(x))$.
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Messagepar amine » Mercredi 16 Novembre 2005, 18:19

franchement, j'ai jamais entendu parlé de ce resultat classique.
je ne sais pas d'où ca viens, si une petite idée de demonstration est disponible, svp.

ensuite, meme si je l'applique ici, je ne sais pas comment se debarrasser du ln(x).
car je trouve

si f(ln(x)) + f'(ln(x)) ---->0 alors f(ln(x)) ----->0
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 16 Novembre 2005, 18:48

Si $f(\ln(x)) \to 0$ en $+\infty$ alors $f(x)$ aussi car $f(x)=f(\ln(e^x))$ et $e^x\to +\infty$ (composition des limites), cela est assez évident non?.
Quant au résultat classique cité plus haut, il doit trainé dans tous les bouquins d'exercices de prépas. Un peu technique au niveau sup, très facile au niveau spé.
P.Fradin
 

Messagepar amine » Mercredi 16 Novembre 2005, 18:57

il n ya pas une petite idée pour la demonstration du resultat.

et merci pour ton aide, jé bien compris la demonstration. :wink:
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Messagepar nirosis » Mercredi 16 Novembre 2005, 18:59

Cela ressemble à la règle de L'Hôpital non ? (qui est un corollaire du théorème de Rolles en fait)
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Messagepar P.Fradin » Mercredi 16 Novembre 2005, 19:21

Cela ressemble effectivement à la règle de L'Hospital, mais ce n'est pas exactement celle-ci car c'est une limite en l'infini.

Soit $\varepsilon>0$, à partir d'un réel $x_0$ on a $|f'(x)|<\varepsilon$,
on écrit $|\frac{f(x)}x| \leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac1x|\int_{x_0}^xf'(t)\,dt|\leq$ $\frac{|f(x_0)|}x+\frac1x\int_{x_0}^x|f'(t)|\,dt\leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac{x-x_0}x\varepsilon\leq \frac{|f(x_0)|}x+\varepsilon$
on peut prendre $x$ encore plus grand ($x\geq x_1>x_0$) de telle sorte que $\frac{|f(x_0)|}x\leq \varepsilon$ ce qui donnera: $|\frac{f(x)}x| \leq 2\varepsilon$ dès que $x\geq x_1$.

PS: si $f'$ n'est pas continue, on utilise l'inégalité des accroissements finis à la place de l'intégrale dans la preuve ci-dessus.
P.Fradin
 


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