[MPSI] Fonctions

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[MPSI] Fonctions

Messagepar amine » Samedi 29 Octobre 2005, 22:29

Soit $f$ une fonction, $f$ n’est pas la fonction identiquement nulle. On pose $E = \{x > 0 | f(x) = 0\}$. On sait que $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ et que $f$ est paire.

Sachant que $f(0) = 1$, et que $f$ s’annule au moins une fois sur $\R^+$ et que $E$ admet une borne inférieure que l’on note $a$.

3. Prouver que $f(a) = 0$ (on pourra raisonner par l’absurde). En déduire que : $a > 0$.

Merci d'avance .
C'est un DM pour lundi 31/10, donc j'ai plus de temps, à vous de m'aider.

C'est un extrait du "CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES" si ca peut vous aider.

[Edit: MB] Passage en code LaTeX. Attention au titre !
amine
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Messagepar P.Fradin » Samedi 29 Octobre 2005, 22:45

Je suppose que la fonction $f$ est continue!

L'ensemble $E$ n'est pas vide par hypothèse, il est minoré par $0$, donc il a effectivement une borne inférieure qui est positive ou nulle.

Montrer que $f(a)=0$: comme $a={\rm Inf}(E)$, il existe une suite $(e_n)$ de $E$ qui converge vers $a$, donc $f(e_n)$ tend vers $f(a)$ (continuité), mais $f(e_n)=0$, donc $f(a)=0$. Comme $f(0)=1$ et que $a\geq 0$, on a $a>0$.

PS: vu la formulation de la question (montrer par l'absurde), l'auteur de l'énoncé attendait probablement autre chose.
P.Fradin
 

Messagepar amine » Samedi 29 Octobre 2005, 23:10

Juste une chose, quelle est la condition pour que $(e_n)$ existe ?
amine
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Messagepar MB » Samedi 29 Octobre 2005, 23:34

amine a écrit:Juste une chose, quelle est la condition pour que $(e_n)$ existe ?


Pas de condition. C'est une propriété de la borne inférieure.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
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Messagepar amine » Samedi 29 Octobre 2005, 23:50

oui c'est vrai, j'ai totalement oublié.
merci pour la demonstration.
enfin de compte, c'est pas imposer l'absurde, on a dit juste "on pourra".
si quelqu'un a pu la resoudre par absurde, ce serai pas mal, si personne n'a pu, je me contentrai de cette demonstration.
merci. :wink:
amine
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 30 Octobre 2005, 09:10

Par l'absurde:

si $f(a)\neq 0$ alors, par continuité de $f$ en $a$, au voisinage de $a$ on a $f(x)\neq 0$, or tout voisinage de $a$ contient des éléments de $E$ car $a={\rm Inf}(E)$, d'où la contradiction.
P.Fradin
 

Messagepar amine » Dimanche 30 Octobre 2005, 13:14

dsl, mais j'ai encore quelques problemes,
on a 8(x, y) 2 R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)

et on vuet montrer que

8(x, y) 2 R2, f"(x + y) + f"(x − y) = 2f(x)f"(y)

j'ai consideré que x un parametre donc f'(x)=0,
mais dans la question qui suit, on doit deduire que f"(x)=cf(x), c un reel.
donc x et y variables.
amine
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Messagepar P.Fradin » Dimanche 30 Octobre 2005, 13:52

amine a écrit:dsl, mais j'ai encore quelques problemes,
on a 8(x, y) 2 R2, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y)

et on vuet montrer que

8(x, y) 2 R2, f"(x + y) + f"(x - y) = 2f(x)f"(y)

j'ai consideré que x un parametre donc f'(x)=0,
mais dans la question qui suit, on doit deduire que f"(x)=cf(x), c un reel.
donc x et y variables.


J'ai du mal à saisir le sens de: "8(x, y) 2 R2"!! Mais je pense avoir saisi le reste.

Vous avez la relation $f qui est valable pour tous les réels $x$ et $y$. Cette relation est donc vraie pour $y=0$ ce qui donne $f''(x)=cf(x)$ en posant $c=f''(0)$ (ceci étant vrai pour tout réel $x$).
P.Fradin
 

Messagepar maskou » Dimanche 30 Octobre 2005, 14:06

Bonjour

Si tu considère que c'est $x$ ta variable, tu as ici une somme de deux fonctions de x:
La composée de $f$ avec le fonction $x \to x+y$ et la composée de $f$ avec
$x \to x-y$ donc en applicant les formules de dérivation (je le précise même si ici ça ne saute pas aux yeux mais si c'avait été $x \to f(2x+3y)$...), on obtient:
$f''(x+y)+f''(x-y)=2f''(x)f(y)$
En prennant $y=0$ il vient:
$2f''(x)=2f''(x)f(0)$ d'où $f''(x)=cf(x)$ avec $c=f(0)$
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Messagepar maskou » Dimanche 30 Octobre 2005, 14:14

oups j'avait mal lu la formule (mais ce que j'ai fait est juste aussi :lol: )



Ceci dit c'est a peu près la même chose au passage si $g(y)=f(x-y)$ il faut être conscient que $g'(y)=-f'(x-y)$ d'où $g''(y)=-(-f''(x-y)=f''(x-y)$...

Et re-oups j'avais pas vu que tu avais aussi répondu P.Fradin...
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