[MPSI] fonctions (re)

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[MPSI] fonctions (re)

Messagepar amine » Lundi 31 Octobre 2005, 21:20

desolé, c'est la nuit chez moi, et je capte plus rien, et je dois faire mon DL pour le plus tot possible.
merci d'avance pour votre aide.

le DL est dans le fichier joint car je sais pas encore ecrire avec le language de ce site.

les questions où j'ai trouvé des problemes à partir de (2..a) jusqu'à (3) de la partie II.

si il y a une question banale, desolé car je vois plus rien.
Fichiers joints
ms00s.pdf
c'est mon DL
(90.98 Kio) Téléchargé 126 fois
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Publicité

Re: [MPSI] fonctions (re)

Messagepar MB » Mardi 01 Novembre 2005, 00:08

amine a écrit:le DL est dans le fichier joint car je sais pas encore ecrire avec le language de ce site.


Oui, bonne idée.

Voici quelques éléments de réponse :

II.A.2.a : Puisque $f(0)=1$ et que $f$ est continue sur $\R$, on peut affirmer qu'il existe $r>0$ tel que $f$ est strictement positive sur $[0;r]$.
Ainsi, on obtient bien que $\ds\int_0^r f(y)dy >0$.

II.A.2.b : On utilise la question II.A.1.b et la question II.A.2.a, pour pouvoir diviser par $\ds\int_0^r f(y)dy$, afin d'exprimer $f(x)$ sous la forme d'une intégrale de la fonction $f$ et ainsi récupérer le fait que $f$ soit $\mc{C}^1$.

II.A.2.c et II.A.2.d : On pose $c= 2 \ds\int_0^r f(y)dy$. On a
<center>$cf(x)= \ds\int_{x-r}^{x+r} f(y)dy$</center>

On obtient alors $cf'(x) = f(x+r)-f(x-r)$. Pour prouver cela, on décompose en somme (ou différence plus exactement) de deux intégrales n'ayant qu'une seule borne dépendant de $x$ et on utilise la formule de dérivation (en utilisant éventuellement une composée de fonction pour se débarasser des $x+r$ et $x-r$). On prouve donc que $f'$ est la somme de deux fonctions $\mc{C}^1$ et est donc également $\mc{C}^1$. On exprime alors aisément $f''$ en fonction de $f'$ et on montre que $f''$ est $\mc{C}^1$, etc.

Pour cette partie, je pense qu'une autre méthode devait être attendue ...

II.A.3 On a :

<center>$\setstretch{2} \begin{array}{lcl} cf''(x) & = & f'(x+r)-f'(x-r) \\  & = & \dfrac{1}{c}(f(x+2r)-f(x))-\dfrac{1}{c}(f(x)-2f(x-2r)) \\  & = & \dfrac{1}{c}(f(x+2r)+f(x-2r)-2f(x)) \\  & = & \dfrac{1}{c}(2f(x)f(2r)-2f(x)) \\  & = & \lambda f(x) \\ \end{array}$</center>
Dernière édition par MB le Mardi 01 Novembre 2005, 09:21, édité 4 fois.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 00:59

Pour le (2.d) c'est resolu. Il reste le (2.c) et le 3.
Merci MB.
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar MB » Mardi 01 Novembre 2005, 01:01

amine a écrit:Il reste le (2.c) et le 3.


J'ai édité mon message pour ajouter mes réponses à ces questions.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 01:14

D'accord j'ai pas vu.
Pour le II.A.3, j'ai pas bien compris la démonstration.
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar MB » Mardi 01 Novembre 2005, 01:22

amine a écrit:Pour le II.A.3, j'ai pas bien compris la démonstration.


Bon, j'ai détaillé un peu plus les calculs. Mais il s'agit de simples applications des formules précédentes.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 01:31

Merci bien,
Je crois que dans l'avant derniere ligne, le $2f(x)f(-2r)$ n'existe pas.
Re-merci bien.
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar MB » Mardi 01 Novembre 2005, 09:20

amine a écrit:Je crois que dans l'avant derniere ligne, le $2f(x)f(-2r)$ n'existe pas.


Oui, en effet ! (j'édite mon message)
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser $\LaTeX$ (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.
MB
Administrateur
 
Messages: 6892
Inscription: Samedi 28 Mai 2005, 13:23
Localisation: Créteil
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 11:38

merci, c'est fini pour celui la.
j'ai encore quelques problemes dans d'autres exercices de ce genre, si vous voulez que je les poste!!
sinon, le DL c'est l'important et je l'ai fait, ces autres ce ne sont que des exercices d'antrainement.
merci. :wink:
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 14:01

svp, comment peut on passer d'une relation valable $\forall x\in \Q$ à $\forall x\in \R$ ?

Je pense à la densité mais je sais pas trop.

plus précisement, on a :

<center>$\forall x\in \Q f(x)=x^2f(1)$</center>

et on veut montrer que :

<center>$\forall x\in \R f(x)=x^2f(1)$</center>

Indications si ça peut vous aider :

$f$ est paire et $f(x+y)+f(x-y)=2*(f(x)+f(y)) \forall (x,y)\in \R^2$.

[Edit: MB] Ne pas oublier les $ ! :wink:
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar maskou » Mardi 01 Novembre 2005, 16:21

Salut

Oui c'est souvent (toujours?) par densité qu'on étend un résultat de $\Q$ à $\R$...

Attention toutefois aux propriétés de continuité des fonctions quand elles sont nécessaires pour les passages à la limite...

Il faut $f$ continue pour avoir
<center>$\ds f(\lim_{n \to \infty}(x_n))=\lim_{n \to \infty}(f(x_n))$</center>
MASKOU
maskou
Hecto-utilisateur
 
Messages: 51
Inscription: Mercredi 07 Septembre 2005, 15:23
Localisation: lille

Messagepar amine » Mardi 01 Novembre 2005, 19:58

je ne sais pas où va apparaitre la suite pour utiliser cette proprieté.
je n'ai pas arrivé a le resoudre, si quelqu'un a une idée.
merci.
amine
Déca-utilisateur
 
Messages: 36
Inscription: Samedi 29 Octobre 2005, 22:12

Messagepar maskou » Mardi 01 Novembre 2005, 20:45

soit $x \in \R$ quelconque
Alors il existe une suite $(x_n)_{n \in \N}$ de rationnels qui converge vers x. (c'est la densité de $\Q$ dans $\R$)
On a $\forall n \in \N~~f(x_n)=x_n^2f(1)$

On passe à la limite:

<center>$\ds\lim_{n \to \infty} f(  x_n)=\lim_{n \to \infty} x_n^2 f(1)$</center>
soit <center>$\ds f(\lim_{n \to \infty} x_n) =(\lim_{n \to \infty} x_n)^2f(1)$</center> car $f$ est continue (et $x \to x^2$ aussi d'ailleurs...)

d'où <center>$f(x)=x^2f(1)$</center>
MASKOU
maskou
Hecto-utilisateur
 
Messages: 51
Inscription: Mercredi 07 Septembre 2005, 15:23
Localisation: lille


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 7 invités