[Mesure et integration] Fonctions mesurables

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[Mesure et integration] Fonctions mesurables

Messagepar papriko » Mercredi 31 Janvier 2007, 16:55

salut tt le monde

je bloque sur cet exercice

soit $(X,T)$ un espace mesuré
et soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables convergent simplement vers $f$
montrer que f est mesurable
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Messagepar Fabcat » Mercredi 31 Janvier 2007, 17:10

Quel est l'ensemble d'arrivée des fonctions $f_n$, $f$ ?
De plus, si mes souvenirs sont bons, si aucune mesure n'est spécifiée, $(E,T)$ ne peut être un espace mesuré (mais mesurable, oui).
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Messagepar papriko » Mercredi 31 Janvier 2007, 17:13

ah oui j'ai oublié
l'ensemlbe d'arrivé c'est R (ou bien un espace métrique en général)
mais je cherche la preuve juste sur R
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Messagepar papriko » Mercredi 31 Janvier 2007, 17:15

non non ya pa des mesures
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Messagepar Fabcat » Mercredi 31 Janvier 2007, 17:17

papriko a écrit:je cherche la preuve juste sur R

Alors dans ce cas, il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert (de $\R$) est dans $T$.

Remarque : pour afficher $\R$, le code est simplement
Code: Tout sélectionner
$\R$
Dernière édition par Fabcat le Mercredi 31 Janvier 2007, 17:19, édité 1 fois.
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Messagepar papriko » Mercredi 31 Janvier 2007, 17:18

oui je sais mais comment !!
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Messagepar Fabcat » Mercredi 31 Janvier 2007, 18:10

Euh, oui, bon à vrai dire, euh, après quelques instants de réflexion, il semble que j'ai besoin d'un peu plus de réflexion :sweatdrop:
Bon et si on attendant les autres pour nous dire ce qu'ils en pensent !
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Messagepar François D. » Mercredi 31 Janvier 2007, 18:22

Quelques bribes de souvenirs ... Pour parler de fonctions mesurables, il faut une tribu $\mathcal{B}$ sur l'ensemble de départ, et une sur l'ensemble d'arrivée, non ?

Pour ce qui est de $\R$, la tribu des boréliens (générée par les intervalles il me semble) devrait faire l'affaire.

Dire que la suite $(f_n)$ converge simplement signifie que pour tout $x \in \R$, la suite $(f_n(x))$ converge en tant que suite réelle : $x \in \bigcap_{n\in \N} I_n$ où les $I_n$ sont des intervalles contenant $x$, ou bien ?

Alors, dire que pour tout $n$, $f_n$ est mesurable signifie que $f_n^{-1}(I_n) \in \mathcal{B}$ ; or une tribu est stable par intersection, d'où ... ce qu'il faut.

Bon ... je me suis mouillé :? pas taper :wink: !
François D.
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Messagepar papriko » Jeudi 01 Février 2007, 14:44

bonjour
merci pour tous.
et si je comprend pas j vais revenir
merci
papriko
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Messagepar papriko » Mardi 06 Février 2007, 20:11

bonsoir tout le monde
alors j'ai prouvé d'une autre méthode
1- j'ai ùonter que sup (f n) et inf (f n) sont mesurables
puis j'ai posé $lim f_n= f$ = la limite supérieure de $f_n$

or la la limite supérieure de $f_n =sup_{n>k}(inf_{k} f_n)$


que ponsez de ma démonstration c vraire ou fausse ??? :oops: :oops: :oops:
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