Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Vendredi 07 Février 2014, 21:45

Bonjour.
J'ai encore de grosses incompréhensions sur les dérivées, dérivées partielle et matrices jacobiennes.
Dans un exercice sur les fonctions implicites, j'ai ce passage :
$\cdots f : (x,y,z)\mapsto z^3+2z+e^{z-x-y^2}-\cos(x-y+z)$ et $\varphi$ sont $C^\infty$ sur les ouverts considérés et on a :

$$\forall((x,y),z)\in V,f((x,y,z)=0\Longleftrightarrow(x,y)\in W\text{ et }z=\varphi(x,y).$$



En particulier comme $f((0,0,),0)=0$, alors $0=\varphi(0,0)$.
De plus, comme la fonction $W\to\R,(x,y)\mapsto f((x,y),\varphi(x,y))$ est identiquement nulle sur l'ouvert $W$, alors sa jacobienne est nulle en tout point de $W$, ce qui implique :

$$d\varphi(x,y)=-\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))^{-1}\circ\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}((x,y),\varphi(x,y))$$


ce qui implique que la jacobienne $\Big(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) \; \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y)\Big)$ est égale à la matrice :

$$\Big(-\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))^{-1}(-e^{\varphi(x,y)-x-y^2}+\sin(x-y+\varphi(x,y)) $$

$$-2ye^{\varphi(x,y)-x-y^2}-\sin(x-y+\varphi(x,y))\Big)$$



$\cdots$

Un soucis avec ce $\circ$, j'aurai écrit :


$$d\varphi(x,y)=-\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}((x,y),\varphi(x,y))} {\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))}$$



Mais je ne comprends pas non plus comment on passe de $z$ à $\varphi(x,y)$ notamment pour le $\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))$ (même si $z=\varphi(x,y)$), ni la dernière égalité.
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Re: fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Samedi 08 Février 2014, 00:38

Ce que vous auriez écrit n'est pas faux dans le cas particulier, mais est piégeant : si vous pouvez écrire un dénominateur, c'est parce $\mathsf{\frac{\partial f}{\partial z}}$ est un nombre. Mais dans le cas plus général où z représente un élément de R$^{\mathsf p}$, cette dérivée partielle devient la matrice jacobienne de la fonction f(x₀, y₀, z) (fonction définie sur un ouvert de R$^{\mathsf p}$, à valeurs dans R$^{\mathsf p}$), donc une matrice p × p, puisqu'elle représente l'approximation linéaire de cette fonction.

Au niveau des matrices jacobiennes,on peut noter celle de f : $\mathsf J_\mathsf{(x,y,z)}\mathsf f}$ pour indiquer les variables qui interviennent ; $\mathsf{J_{(x,y)}f}$ celle de la fonction de (x, y) : f(x, y, z₀) et $\mathsf{J_zf}$ celle de la fonction de z : f(x₀, y₀, z), le fait que que la jacobienne de la fonction f(x, y , φ(x, y)) soit nulle se traduit (différentiation des fonctions composées) par :

$$[\mathsf{J_{(x,y)}f\  J_z f\,]\begin{bmatrix} \mathsf{I_2}\\ \mathsf{J_{(x, y)}\varphi} \end{bmatrix}}= 0$$

c.-à-d. :

$$ \mathsf{J_{(x,y)}f + J_z f\cdot J_{(x, y)}\varphi =0} $$

On voit donc qu'il faut multiplier à gauche par l'inverse de la matrice $\mathsf{ J_z f}$ pour obtenir la valeur de $\mathsf{J_z\varphi}$.

Voilà. J'espère avoir réussi à vous éclairer un peu.

B.A.
Dernière édition par balf le Dimanche 09 Février 2014, 23:12, édité 1 fois.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Février 2014, 22:53

Ouf, c'est dur.
On veut la Jacobienne de $f(x,y,\varphi(x,y))$. Pour les 2 premières valeurs, on a $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}$.

Pour le 3eme, on cherche quelque chose de la forme $D(f\circ\varphi)(x,y)=Df(\varphi(x,y))\circ D\varphi(x,y)$

Ce qui donne $\dfrac{\partial f}{\partial z}\circ (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\dfrac{\partial\varphi }{\partial y})$.

Et $\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x}\quad\dfrac{\partial f}{\partial y}\quad\dfrac{\partial f}{\partial z}\circ (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x},\dfrac{\partial\varphi }{\partial y})\Big)=0$

Pour relier cela à $d\varphi(x,y)=-\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))^{-1}\circ\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}((x,y),\varphi(x,y))$

Dans $\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}$, je ne comprends pas ce que veut dire $\partial(x,y)$


Je comprends donc mal :

$$[\mathsf{J_{(x,y)}f\ J_z f\,]\begin{bmatrix} \mathsf{I_2}\\ \mathsf{J_{(x, y)}\varphi} \end{bmatrix}}= 0$$

qui est la différentielle de la composée de fonctions de $\R^P\to\R^P$, notamment le $\begin{bmatrix} \mathsf{I_2}\\ \mathsf{J_{(x, y)}\varphi} \end{bmatrix}}$.

$[\mathsf{J_{(x,y)}f\ J_z f\,]$ est dans l'exercice une matrice ligne ?
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Dimanche 09 Février 2014, 23:29

Ça ne va pas au début, donc le reste ne peut pas aller. Je reprends votre première assertion. Vous parlez de 3 valeurs (= coefficients de la matrice jacobienne, je suppose). Mais g(x, y) = f(x, y, φ(x, y)) est une fonction de 2 variables, donc c'est une matrice 1 × 2 (ou p × 2) si f est à valeurs dans R$^{\mathsf p}$.

Il faut vraiment calculer les dérivées partielles de cette fonction de 2 variables en tant fonction composée par suivre le raisonnement/calcul que j'ai tenu avec des notations globales.

La notation avec ∂f(x, y, φ(x, y))/∂(x,y) désigne la matrice des dérivées partielles (jacobienne) de la fonction de 2 variables f(x, y, φ(x, y)).

Pour répondre à votre question finale, oui, on a bien dans l'exercice une matrice-ligne parce qu'on a dans l'ex. une fonction à valeurs dans R ; à valeurs dans R$^{\mathsf p}$, on aurait une matrice à p lignes.
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Re: fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Lundi 10 Février 2014, 21:07

balf a écrit:Ce que vous auriez écrit n'est pas faux dans le cas particulier, mais est piégeant : si vous pouvez écrire un dénominateur, c'est parce $\mathsf{\frac{\partial f}{\partial z}}$ est un nombre. Mais dans le cas plus général où z représente un élément de R$^{\mathsf p}$, cette dérivée partielle devient la matrice jacobienne de la fonction f(x₀, y₀, z) (fonction définie sur un ouvert de R$^{\mathsf p}$, à valeurs dans R$^{\mathsf p}$), donc une matrice p × p, puisqu'elle représente l'approximation linéaire de cette fonction.

Au niveau des matrices jacobiennes,on peut noter celle de f : $\mathsf J_\mathsf{(x,y,z)}\mathsf f}$ pour indiquer les variables qui interviennent ; $\mathsf{J_{(x,y)}f}$ celle de la fonction de (x, y) : f(x, y, z₀) et $\mathsf{J_zf}$ celle de la fonction de z : f(x₀, y₀, z), le fait que que la jacobienne de la fonction f(x, y , φ(x, y)) soit nulle se traduit (différentiation des fonctions composées) par :

$$[\mathsf{J_{(x,y)}f\  J_z f\,]\begin{bmatrix} \mathsf{I_2}\\ \mathsf{J_{(x, y)}\varphi} \end{bmatrix}}= 0$$

c.-à-d. :

$$ \mathsf{J_{(x,y)}f + J_z f\cdot J_{(x, y)}\varphi =0} $$

On voit donc qu'il faut multiplier à gauche par l'inverse de la matrice $\mathsf{ J_z f}$ pour obtenir la valeur de $\mathsf{J_z\varphi}$.

Voilà. J'espère avoir réussi à vous éclairer un peu.

B.A.

Je ne comprends pas ce Jacobien.

Ok $f(x,y,\varphi(x,y))$ est une fonction de $\R^2\to\R$

La différentielle de la composée $D(g\circ f)(a)=Dg(F(a))\circ Df(a)$
La Jacobienne de la composée, c'est : $J_{F\circ G}=(J_F\circ G)\cdot J_G$

Ici, on a $f(x,y,z)=f(x,y,\varphi(x,y))=0$

$\mathsf J_\mathsf{(x,y,z)}\mathsf f}=[\mathsf{J_{(x,y)}f\ J_z f\,]$

$J_{(x,y,z)}f=(\dfrac{\partial f}{\partial x}\quad\dfrac{\partial f}{\partial y}\quad\dfrac{\partial f}{\partial y})$.

$J_{(x,y)}f =(\dfrac{\partial f}{\partial x}\quad\dfrac{\partial f}{\partial y})$

$ J_{(x, y)}\varphi =(\dfrac{\partial \varphi }{\partial x}\quad\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}) $

Mais la jacobienne de $f(x,y,\varphi(x,y))$, je n'ai pas compris comment elle se construisait.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Mardi 11 Février 2014, 22:48

Il faut arriver à voir f(x,y φ(x,y)) comme la fonction de R² dans R³ : (x, y) $\longmapsto$ (x, y, φ(x, y)), c.-à-d. comme l'application id$_{\textsf{ R\bfseries}^2}$ × φ, composée par f.

B.A.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Février 2014, 14:07

Bonjour.
J'ai détaillé mon raisonnement pour qu'il soit plus facile de voir ce que je m'obstine à ne pas comprendre.

$(x,y)\stackrel{g}{\mapsto}\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)\stackrel{f}{\mapsto}f\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)$
$\R^2\to\R^3\to\R$

La formule de la différentielle de la composée :

$D(g\circ f)(x, y,z)=Dg\Big(f(x,y,z)\Big)\circ Df(x,y,z)$

Soit le produit matriciel :
$J_{(x,y,z)}(g\circ f)=J_{(x,y)}g\cdot J_{(x,y,z)}f$

$J_{(x,y,z)}(g\circ f)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x}&\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\Big)$

Soit le "contraire" de ce qu'il faut trouver.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Mercredi 12 Février 2014, 14:32

Votre problème, c'est la notation de la composée : avec la décomposition détaillée, on voit qu'il s'agit de f ∘ g et non de g ∘ f.

B.A.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Février 2014, 18:38

Je suis un âne.

$(x,y)\stackrel{g}{\mapsto}\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)\stackrel{f}{\mapsto}f\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)$
$\R^2\to\R^3\to\R$

La formule de la différentielle de la composée :

$D(f\circ g)(x, y)=Df\Big(g(x,y)\Big)\circ Dg(x,y)$

Soit le produit matriciel :

$J_{(x,y,z)}(f\circ g)=J_{(x,y,z)}f\cdot J_{(x,y)}g$

$J_{(x,y,z)}(f\circ g)=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\Big)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x}&\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}$

$=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=0$

$J_{(x,y)}f+J_zf\cdot J_{(x,y)}\varphi=0$

Soit : $J^{-1}_zf\cdot J_{(x,y)}f=-J_{(x,y)}\varphi$, ce qui donne une formule plus générale de :

$d\varphi(x,y)=-\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}((x,y),\varphi(x,y))} {\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))}$ pour les fonctions implicites.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar Minibob59 » Mercredi 12 Février 2014, 20:03

La matrice $J_{(x,y,z)}(f \circ g)$ est une matrice à 2 colonnes et 1 ligne donc tu ne peux pas obtenir un scalaire à la fin du calcul...
Minibob59 !
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Février 2014, 20:33

Quel scalaire ?
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Mercredi 12 Février 2014, 20:56

@Minibob59 , @paspythagore : c'est la matrice $\mathsf{J_{x,y}(f\circ g)}$ qu'il faut écrire.

Il y a une erreur (de transcription ?) à la fin du calcul, qu'il faut récrire comme :

$$\cdots +  \mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}(x ,y, \varphi(x,y)) \boxed{\cdot\dfrac{\partial\varphi}{\partial(x,y)}} }$$



Il me semble que ceci montre que les notations matricielles sont plus claires… Hormis quoi, l'essentiel est bon.
B.A.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Mercredi 12 Février 2014, 21:13

J'en ai bien oublié un morceau en recopiant.

Mais ai-je bien compris ?

$(x,y)\stackrel{g}{\mapsto}\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)\stackrel{f}{\mapsto}f\Big(x,y,\varphi(x,y)\Big)$
$\R^2\to\R^3\to\R$

La formule de la différentielle de la composée :

$D(f\circ g)(x, y)=Df\Big(g(x,y)\Big)\circ Dg(x,y)$

Soit le produit matriciel :

$J_{(x,y,z)}(f\circ g)=J_{(x,y,z)}f\cdot J_{(x,y)}g$

$J_{(x,y,z)}(f\circ g)=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\Big)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x}&\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}$

$=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y}=$

$=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial (x,y)}=0$


$J_{(x,y)}f+J_zf\cdot J_{(x,y)}\varphi=0$

Soit : $J^{-1}_zf\cdot J_{(x,y)}f=-J_{(x,y)}\varphi$, ce qui donne une formule plus générale de :

$d\varphi(x,y)=-\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial(x,y)}((x,y),\varphi(x,y))} {\dfrac{\partial f}{\partial z}((x,y),\varphi(x,y))}$ pour les fonctions implicites.

$J_{(x,y,z)}(f\circ g)=\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\Big)\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial x}&\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}$
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Jeudi 13 Février 2014, 00:40

C'est bien cela. Il ne reste qu'à effectuer le produit matriciel – qui redonne évidemment le résultat du calcul des dérivées partielles par la formule de dérivation des fonctions composées.

B.A.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Samedi 05 Avril 2014, 13:22

Bonjour.
Je reprends cet exercice pour la partie terminale.
Énoncé : Montrer que l'équation: $ z^3+2z+e^{z-x-y^2}=\cos(x-y+z)$ définit implicitement $z$ comme fonction $C^\infty$ de $(x,y)$ au voisinage de $(0,0)$ qui s'annule en $(0,0)$.

Calculer les dérivées partielle seconde à l'ordre 2 de $z$ en $(0,0)$.


...$\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial (x,y)}=0$

On a

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}}\\  \dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}}\end{matrix}\right$$



Avec

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=e^{x-y-\varphi^2(x,y)}+\sin(x-y+\varphi(x,y)) \\ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-e^{x-y-\varphi^2(x,y)}-\sin(x-y-\varphi(x,y))  \\ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}= 3\varphi^2(x,y)+2\varphi(x,y)e^{x-y-\varphi^2(x,y)}+\sin(x-y+\varphi(x,y))\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial x}=1\\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial y}=-1 \\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial z}=2\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial x}=1\\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial y}=-1 \\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial z}=2\end{matrix}\right$$



Ce qui me donnerait :

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x}=-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right$$



Or le corrigé me donne :

$$(\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x} \quad\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y})=-\dfrac{1}{3}(-1\quad 0)$$


Ce qui n'est pour moi pas l'ordre 2 et l'ordre 2, je ne sais pas le trouver.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Avril 2014, 15:23

Bonjour.
Je continue cet exercice pour la partie terminale.
Énoncé : Montrer que l'équation: $ z^3+2z+e^{z-x-y^2}=\cos(x-y+z)$ définit implicitement $z$ comme fonction $C^\infty$ de $(x,y)$ au voisinage de $(0,0)$ qui s'annule en $(0,0)$.

Calculer les dérivées partielle seconde à l'ordre 2 de $z$ en $(0,0)$.


...$\Big(\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial (x,y)}=0$

On a

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}}\\  \dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}}\end{matrix}\right$$



Avec

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=e^{x-y-\varphi^2(x,y)}+\sin(x-y+\varphi(x,y)) \\ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-e^{x-y-\varphi^2(x,y)}-\sin(x-y-\varphi(x,y))  \\ \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z}= 3\varphi^2(x,y)+2\varphi(x,y)e^{x-y-\varphi^2(x,y)}+\sin(x-y+\varphi(x,y))\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial x}=1\\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial y}=-1 \\  \dfrac{\partial f(0,0)}{\partial z}=2\end{matrix}\right$$



Ce qui me donnerait :

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x}=-\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right$$



Or le corrigé me donne :

$$(\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x} \quad\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y})=-\dfrac{1}{3}(-1\quad 0)$$


Ce qui n'est pour moi pas l'ordre 2 et l'ordre 2, je ne sais pas le trouver.

Pour la dérivée partielle d'ordre 2 de $z$, il s'agit de calculer ?

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial x^2}\\  \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial y^2}\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2}=(1-2\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}\varphi(x,y))e^{x-y-\varphi^2(x,y)}}+(1+\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x})(\cos(x-y+\varphi(x,y))\\  \dfrac{\partial f^2(x,y)}{\partial x\partial z}=6\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}+4\varphi^2(x,y)\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}-2\varphi(x,y))e^{x-y-\varphi^2(x,y)}}\\+(1+\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}\cos(x-y+ \varphi(x,y))\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f^2(0,0)}{\partial x^2}=\dfrac{3}{2}\\  \dfrac{\partial f^2(0,0)}{\partial x\partial z}=-2\end{matrix}\right$$



$ \dfrac{\partial \varphi^2(x,y)}{\partial x^2}=-\dfrac{ \dfrac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2}\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial z} -\dfrac{\partial f^2(x,y)}{\partial x\partial z}\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\Big(\dfrac{\partial f^2(x,y)}{\partial z}\Big)^2  }$

$ \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial x^2}=-\dfrac{ 1}{2}$

Et pareil pour $ \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial y^2}$
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Dimanche 06 Avril 2014, 15:37

Vous avez fait les calculs de dérivées partielles comme si dans f, l'exponentielle était $\mathsf{e^{x - y - z^2}}$ alors que votre énoncé dit que c'est $\mathsf{e^{z - x -y^2}}$.

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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Avril 2014, 16:22

Oui merci.
Mais pour le raisonnement des dérivées partielles seconde à l'ordre 2 de $z$ en $(0,0)$, c'est ça ?
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar balf » Dimanche 06 Avril 2014, 17:21

C'est ça, pour la formule générale (pour les valeurs numériques, le point de départ étant erroné, je n'ai même pas cherché à vérifier), à quelques détails près :

    Ce n'est pas de f(x,y) qu'il s'agit un peu partout, mais de f(x, y, φ(x, y)).
    Dans les dénominateurs, c'est $\mathsf{\dfrac{\partial f}{\partial z}}$ et non $\mathsf{\dfrac{\partial f ^2}{\partial z}}$ qu'il faut écrire.
B.A.
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Re: Fonctions implicites, jacobienne et dérivée

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Avril 2014, 20:51

J'ai de corriger mes erreurs.

Énoncé : Montrer que l'équation: $ z^3+2z+e^{z-x-y^2}=\cos(x-y+z)$ définit implicitement $z$ comme fonction $C^\infty$ de $(x,y)$ au voisinage de $(0,0)$ qui s'annule en $(0,0)$.

Calculer les dérivées partielle seconde à l'ordre 2 de $z$ en $(0,0)$.


...$\Big(\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x}\quad \dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial y}\Big)\cdot Id_{\R^2}+\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}\dfrac{\partial \varphi(x,y)}{\partial (x,y)}=0$

On a

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}}\\  \dfrac{\partial\varphi(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial y}}{\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}}\end{matrix}\right$$



Avec

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x}=-e^{\varphi(x,y)-x-y^2}+\sin(x-y+\varphi(x,y)) \\ \dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial y}=-2y e^{\varphi(x,y)-x-y^2}-\sin(x-y-\varphi(x,y))  \\ \dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}= 3\varphi^2(x,y)+2+e^{\varphi(x,y)-x-y^2}+\sin(x-y+\varphi(x,y))\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial x}=-1\\  \dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial y}=0 \\  \dfrac{\partial f(0,0,0)}{\partial z}=3\end{matrix}\right$$



Ce qui me donnerait :

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x}=-\dfrac{1}{3}\\ \dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y}=0\end{matrix}\right$$



Ce qui me rapproche de ce que donne le corrigé, mais qui n'est pas d'ordre 2 :

$$(\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial x} \quad\dfrac{\partial \varphi(0,0)}{\partial y})=-\dfrac{1}{3}(-1\quad 0)$$


Ce qui n'est pour moi pas l'ordre 2 et l'ordre 2, je ne sais pas le trouver.

Pour la dérivée partielle d'ordre 2 de $z$, il s'agit de calculer ?

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial x^2}\\  \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial y^2}\end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f^2(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x^2}=\\ \Big(\dfrac{\partial\varphi(x,y,)}{\partial x}-1\Big)e^{x-y-\varphi^2(x,y)}}+(1+\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x})(\cos(x-y+\varphi(x,y))\\ \dfrac{\partial f^2(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x\partial z}=\\ 6\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}\cdot\varphi(x,y)+\Big(\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}-1\Big)e^{x-y-\varphi^2(x,y)}}+\Big(\dfrac{\partial\varphi(x,y)}{\partial x}+1\Big)\cos(x-y+ \varphi(x,y)) \end{matrix}\right$$



$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{\partial f^2(0,0,0)}{\partial x^2}=-\dfrac{2}{3}\\  \dfrac{\partial f^2(0,0,0)}{\partial x\partial z}=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right$$



$ \dfrac{\partial \varphi^2(x,y)}{\partial x^2}=-\dfrac{ \dfrac{\partial f^2(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x^2}\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z} -\dfrac{\partial f^2(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x\partial z}\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial x}}{\Big(\dfrac{\partial f(x,y,\varphi(x,y))}{\partial z}\Big)^2  }$

$ \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial x^2}=-\dfrac{8}{27}$

Et pareil pour $ \dfrac{\partial \varphi^2(0,0)}{\partial y^2}$
paspythagore
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