Fonctions holomorphes et harmoniques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Fonctions holomorphes et harmoniques

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Février 2014, 17:02

Avant de me replonger sur les sujets de calcul différentiel que j'ai posé sur ce forum et que je n'ai pas compris, je tente d'en finir avec un cours qui m'a paru, faute d'exemples simples, très indigeste.
définition :Soient $U$ un ouvert de \C et $u:U\to\C$ de classe $C^2$. On dit que $u$ est harmonique si elle vérifie l'équation de Laplace $\Delta u=0,$$\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}=4\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial\bar{z}}$.

lemme :Soient $D$ un ouvert de $\C$ et $f\in\mathcal{O}(D)$. Alors :

1/ $f$ et $\bar{f}$ sont harmoniques.
2/ $Re\;f$ et $Im\;f$ sont harmoniques

$\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial\bar{z}}=\Big(\dfrac{\partial}{\partial z}\Big)\Big(\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}\Big)=0$ car $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ si $f$ est holomorphe.

Cela veut dire que toute les fonctions holomorphes sont harmoniques ?
Alors à quoi sert la condition $f\in\mathcal{O}(D)$ ?

De prime abord, je voyais dans $\mathcal{O}(D)$ des fonctions circulaires de type $re^{i\theta}$ avec $r\leq0$.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Publicité

Re: Fonctions holomorphes et harmoniques

Messagepar balf » Dimanche 09 Février 2014, 18:21

Oui, les fonctions holomorphes sont harmoniques, c'est ce que dit le point 1 de l'énoncé. À quoi sert la condition … ? À assurer l'harmonicité. À vrai dire, je ne comprends pas très bien le sens de la question.

Il y a bien d'autre fonctions holomorphes que celles-là, à commencer par les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles. Dans le domaine complexe, une fonction holomorphe ou une fonction analytique (localement développable en série entière), c'est la même chose.

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3865
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Fonctions holomorphes et harmoniques

Messagepar paspythagore » Dimanche 09 Février 2014, 20:54

Merci.
Pour la condition, j'ai lu un peu vite $D$ pour disque unité. Ici, c'est juste un ouvert.
paspythagore
Exa-utilisateur
 
Messages: 2287
Inscription: Mercredi 19 Novembre 2008, 15:35
Statut actuel: Post-bac

Re: Fonctions holomorphes et harmoniques

Messagepar balf » Dimanche 09 Février 2014, 21:32

Il s'agit souvent d'un domaine, c.-à-d. d'un ouvert simplement connexe (utile pour la théorie de Cauchy).

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3865
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Ahrefs [Bot], Proximic [Spider] et 3 invités