Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

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Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar Arthur Accroc » Lundi 11 Mai 2009, 20:04

Bonsoir.

Je cherche à démontrer que les seules fonctions $f:\R\to\R$ localement intégrables (de lapin, œuf corse, et au sens de Lebesgue sinon) telles que

$$(\forall(a,b)\in\R^2)\ \int_a^b f = (b-a)f(\frac{a+b}{2})$$



sont les fonctions affines. Bon, si la fonction est supposée continue, c'est vachement évident, vu qu'elle est égale à une fonction affine sur un ensemble dense, à savoir on choisit $a$ et $b$, et on montre que $f$ se confond avec la fonction affine définie par ces deux points en tous les points de la forme $\frac{k(a+b)}{2^n}$, avec $k$ et $n$ entiers plus ou moins naturels.

Mais pour une fonction seulement Lebesgue-intégrable, j'ai plus de mal. Que peut-on faire dans ce cas ?
Dernière édition par MB le Mercredi 13 Mai 2009, 18:16, édité 2 fois.
Raison: correction de latex
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar OG » Lundi 11 Mai 2009, 20:25

Bonsoir

Pour des fonctions Lesbesgue intégrables, j'aurai plutôt écrit l'exercice avec un "pour presque tout $(a,b)$ ..."
Sinon il me semble que si $a$ est fixé alors $\int_a^x f(s)ds$ est une fonction continue dès que $f$ est $L^1$-loc ?

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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar Arthur Accroc » Mardi 12 Mai 2009, 19:36

OG a écrit:Bonsoir

Pour des fonctions Lesbesgue intégrables, j'aurai plutôt écrit l'exercice avec un "pour presque tout $(a,b)$ ..."
Sinon il me semble que si $a$ est fixé alors $\int_a^x f(s)ds$ est une fonction continue dès que $f$ est $L^1$-loc ?


Tiens, c'est pas faux ce que tu dis là, du coup, si on fixe $a$ et qu'on fait bouger $b$, on peut prouver que $f$ est nécessairement continue. Et du coup, tout le reste tombe comme à Gravelotte !

Merci beaucoup pour cette remarque débloquante à donf grâve !
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar OG » Mardi 12 Mai 2009, 20:47

Arthur Accroc a écrit:Tiens, c'est pas faux ce que tu dis là, du coup, si on fixe $a$ et qu'on fait bouger $b$, on peut prouver que $f$ est nécessairement continue. Et du coup, tout le reste tombe comme à Gravelotte !

Merci beaucoup pour cette remarque débloquante à donf grâve !


De rien. Mais pour moi c'est du presque partout dès que l'on passe à $L^1_{loc}$.
Certains peuvent être tatillon avec la classe d'équivalence des représentants de $f$, etc et blabla
Au fait comment justifies-tu la continuité de $x\mapsto \int_a^x f(s)ds$ ?

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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar Arthur Accroc » Mardi 12 Mai 2009, 22:27

OG a écrit:De rien. Mais pour moi c'est du presque partout dès que l'on passe à $L^1_{loc}$.


Là, je ne pige pas très bien, vu que si l'on suppose la propriété vraie pour tout couple $(a,b)$, $f$ est nécessairement continue, non ? Si l'on suppose seulement la propriété vraie presque partout... heu, je donne ma langue au chat, ça va me donner mal à la tête ;-)

OG a écrit:Certains peuvent être tatillon avec la classe d'équivalence des représentants de $f$, etc et blabla
Au fait comment justifies-tu la continuité de $x\mapsto \int_a^x f(s)ds$ ?


Bin, dans le cas qui m'intéresse (cours de Fraysse-Arnaudiès), les fonctions sont bornées, donc cela résulte immédiatement de l'inégalité triangulaire. Dans le cas général, on suppose $f$ positive, et on applique Beppo-Levi à la suite de fonctions $\phi_n=f \chi_{[a,x_n]}$, si jeune mabuse. Le cas $f$ de signe quelconque s'en déduit encore avec l'inégalité triangulaire.

Maintenant, je suis ouvert à toute méthode plus simple, ne faisant pas intervenir l'artillerie lourde :-)
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar OG » Mercredi 13 Mai 2009, 08:13

Bonjour

pour le 1) généralement je ne me prends pas la tête avec ce genre de chose mais certains si.
Normalement un élément de $L^1_{loc}$ correspond à une classe d'équivalence (les éléments égaux presque partout). Dès que l'on est dans ce cadre, l'égalité est au sens presque partout ; c'est sous entendu ou on l'écrit. Je ne voulais rendre les choses plus confuses, désolé

pour le 2) je pensais au théorème de convergence dominée de Lebesgue. Je pense qu'il est nécessaire de sortir l'artillerie.

Cordialement
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar Arthur Accroc » Mercredi 13 Mai 2009, 12:27

OG a écrit:pour le 1) généralement je ne me prends pas la tête avec ce genre de chose mais certains si.
Normalement un élément de $L^1_{loc}$ correspond à une classe d'équivalence (les éléments égaux presque partout). Dès que l'on est dans ce cadre, l'égalité est au sens presque partout ; c'est sous entendu ou on l'écrit. Je ne voulais rendre les choses plus confuses, désolé


Ne sois pas désolé, c'est moi qui ai fait la confusion, l'intégrale de Lebesgue présentée dans le Fraysse-Arnaudiès est une adaptation de la vraie, une sorte de mi-chemin entre Riemann et la vraie Lebesgue.

OG a écrit:pour le 2) je pensais au théorème de convergence dominée de Lebesgue. Je pense qu'il est nécessaire de sortir l'artillerie.


Comme je te l'ai dit, dans le F.A., les fonctions sont bornées, ce qui simplifie la démonstration.

À part cela, entre temps, j'ai perdu le début de mon raisonnement, et je ne vois absolument plus le caractère évident de mon résultat lorsque $f$ est continue. Donc, si quelqu'un peut encore m'aider, je suis preneur.
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar OG » Jeudi 14 Mai 2009, 20:36

Bonsoir

Je n'avais pas regardé en détail ta solution, le côté "un ensemble dense où blabla"
me convenant assez. Je n'ai toujours pas regardé en détail d'ailleurs.
Une façon de faire est de dériver $x\mapsto \int_a^x f(s)ds=f((a+x)/2) (x-a)$
et de voir ce que ça donne en $x=-a$.

O.G.
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Re: Fonction dont la valeur moyenne est toujours au milieu

Messagepar Tonn83 » Samedi 16 Mai 2009, 13:06

OG a écrit:pour le 1) généralement je ne me prends pas la tête avec ce genre de chose mais certains si.
Normalement un élément de $L^1_{loc}$ correspond à une classe d'équivalence (les éléments égaux presque partout). Dès que l'on est dans ce cadre, l'égalité est au sens presque partout ; c'est sous entendu ou on l'écrit. Je ne voulais rendre les choses plus confuses, désolé


Une fonction mesurable (borélienne) $f:R\rightarrow R$ est égale presque partout à au plus une fonction continue. De fait, cela a un sens d'affirmer qu'une certaine fonction mesurable $f$ "est" continue (sous-entendu: on modifie ses valeurs sur un ensemble négligeable si nécessaire). Donc, ici, on partait d'une fonction mesurable et intégrable $f$, on trouve qu'elle "est" continue. Est-elle mieux que continue ? Que dire de la primitive d'une fonction continue ?
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