fonction deux fois différentiable

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fonction deux fois différentiable

Messagepar paspythagore » Samedi 09 Novembre 2013, 18:41

Bonjour.
Il doit y avoir un lien avec mon message précédent, ce qui montre que je n'ai pas tout compris. La définition me donne le doute. Comme la différentielle est une application linéaire continue, alors la différentielle de la différentielle de $f$, c'est toujours la différentielle de $f$.
Je ne comprends pas de quelle difficulté il est question, celle que je viens d'avoir ?
Pour le lemme, je ne comprends pas ce qu'il dit.
Merci de votre aide.

définition :
On dit que la fonction $f$ est deux fois différentiable en un point $a$ de l'ouvert $\Omega$ si elle est différentiable sur $\Omega$ et ssi la fonction $Df$ définie par :

$$D_f\begin{cases} \Omega\to \mathcal{L}(E;F)\\ x\mapsto Df(x) \end{cases}$$


est différentiable en $a$.

Derrière la simplicité de cette défintion se cache une petite difficulté. La différentielle de $Df$ en $a$ est une application linéaire de $E$ dans l'espace $\mathcal{L}(E;F)$ des applications lin"aires continues de $E$ dans $F$. Comme nous le verrons dans la section 7.5, il est utile de voir la différentielle seconde $D(Df)(a)$ comme une application bilinéaire? Ceci est possible grâce au lemme suivant.

lemme :
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, on considère l'espace vectoriel $B_2(E;F)$ des applications bilinéaires continues de $E\times E$ dans $F$ et l'application $I$ définie par :

$$I\begin{cases} \mathcal{L}(E;\mathcal{L}(E;F))\to B_2(E;F)\\A\mapsto I(A)\text{ définie par }I(A)(\vv{h},\vv{k})\stackrel{déf}{=}A(\vv{h})(\vv{k}). \end{cases}$$


L'application linéaire $I$ est une bijection isométrique.
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Re: fonction deux fois différentiable

Messagepar Minibob59 » Samedi 09 Novembre 2013, 19:35

Bonsoir !

Je n'ai jamais étudié les fonctions deux fois différentiables, mais il est sûr que si $f$ est différentiable sur $\Omega$, alors l'application :

$$D_f : \Omega \to \mathcal{L}(E,F), x \mapsto Df(x)$$

n'est pas nécessairement linéaire.
Prendre par exemple, l'application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3$.

Il ne faut pas confondre la différentielle de $f$ en $a$ et l'application qui à un point associe la différentielle de $f$ en ce point !
Minibob59 !
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Re: fonction deux fois différentiable

Messagepar Tonn83 » Samedi 09 Novembre 2013, 19:48

Encore une fois, votre difficulté tient en l'incompréhension des notations. On ne cherche évidemment pas à différentier l'application linéaire $Df_x:h\mapsto Df_x(h)$ mais l'application $Df:x\mapsto Df_x$.

Exemple : Soit $f:\R\to \R$ une application continue. $f$ est différenitable sur $\R$ si et seulement si elle est dérivable. Sa différentielle en $x$ est l'application linéaire $Df_x:h\mapsto f'(x)h$. En particulier,
$Df_{x+y}-Df_x\; :\; h\mapsto (f'(x+y)-f'(y))h$
Il n'est pas difficile de voir que $Df:x\mapsto Df_x$ est différentiable si et seulement si $f'$ est différentiable (pourquoi?) et dans ce cas :
$D(Df)_x\, :\, h'\mapsto \left(h\mapsto f''(x)hh'\right)$
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Re: fonction deux fois différentiable

Messagepar paspythagore » Samedi 09 Novembre 2013, 21:07

$D(Df)_x\, :\, h'\mapsto \left(h\mapsto f''(x)hh'\right)$ :sweatdrop:
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Re: fonction deux fois différentiable

Messagepar balf » Samedi 09 Novembre 2013, 21:23

J'ajouterai que, puisque Df est une application de l'ouvert Ω dans ℒ(E, F), sa différentielle, si elle existe est donc une application de Ω dans ℒ(E, ℒ(E, F)), qui est naturellement isomorphe à Bil(E×E, F) — et aussi à ℒ(E⊗E, F), mais ceci est déjà plus technique.

L'isomorphisme avec les applications bilinéaires de E×E dans F est en relation avec la matrice jacobienne dans le cas d'une fonction numérique définie sur un ouvert Ω de R² ou Rⁿ : cette matrice jacobienne représente en effet une forme bilinéaire sur R² (cf le développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables).

B.A.
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Re: fonction deux fois différentiable

Messagepar Tonn83 » Dimanche 10 Novembre 2013, 09:38

balf a écrit:... ℒ(E, ℒ(E, F)), qui est naturellement isomorphe à Bil(E×E, F) — et aussi à ℒ(E⊗E, F), mais ceci est déjà plus technique.

Houlà ! N'allons pas jusqu'à évoquer le produit tensoriel ici ! Déjà que Paspythagore semble un peu égaré par les notations... :roll:
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