Fonction définie par une série

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Fonction définie par une série

Messagepar AMA » Dimanche 28 Novembre 2010, 14:58

Bonjour,

Je dois étudier la fonction $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$

J'ai trouvé qu'elle était continue sur $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}_-$ (thm des séries alternées), mais on me demande de trouver un équivalent en 0 et en $+\infty$ et je ne sais pas comment faire.

Merci.
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar PRND » Dimanche 28 Novembre 2010, 15:40

Commence par regrouper les termes par 2, pour faire disparaître les $(-1)^n$
Ensuite, en $+\infty$ c'est une comparaison série/intégrale.
En $0$ c'est beaucoup plus simple
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar AMA » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:03

Ok je trouve $1/x$ comme équivalent en $+\infty$ avec la comparaison série intégrale, c'est juste?
Par contre en 0 je ne vois pas trop...
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar PRND » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:24

AMA a écrit:Ok je trouve $1/x$ comme équivalent en $+\infty$ avec la comparaison série intégrale, c'est juste?

Non
Par contre en 0 je ne vois pas trop...

Seul le premier terme de la somme est "gênant". Alors sépare le des autres
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar AMA » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:31

Pour l'infini je trouve comme encadrement $-\ln(1-\frac{1}{x})\leq f(x)\leq \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} -\ln(1-\frac{1}{x})$, c'est juste ça?

Ensuite en 0 c'est équivalent à $1/x$.
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar PRND » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:42

AMA a écrit:Pour l'infini je trouve comme encadrement $-\ln(1-\frac{1}{x})\leq f(x)\leq \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} -\ln(1-\frac{1}{x})$, c'est juste ça?

Je ne pense pas
Ensuite en 0 c'est équivalent à $1/x$.

Oui
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar AMA » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:52

J'ai vérifié les calculs et je n'ai pas trouvé d'erreurs. C'est quoi la solution au fait ?
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar PRND » Dimanche 28 Novembre 2010, 17:55

Si tu expliquais ce que tu as fait ?
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar AMA » Dimanche 28 Novembre 2010, 18:17

La fonction $t\mapsto\frac{1}{x+2t}-\frac{1}{x+2t+1}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+$, puis j'ai fait une comparaison série intégrale (j'ai pas trop envie de taper tous mes calculs avec latex :| ).
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Re: Fonction définie par une série

Messagepar PRND » Dimanche 28 Novembre 2010, 18:22

Oui, c'est ça. L'erreur doit donc être après, sans doute au niveau de l'intégrale
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