Fonction bornée

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Fonction bornée

Messagepar paspythagore » Jeudi 20 Octobre 2011, 09:26

Bonjour.

On a : $\forall\varepsilon>0,\exists N\in\N,\forall p\geq \N, sup_{x\in\R}\vert f_p(x)-f(x)\vert<\varepsilon$

avec $f(x)=lim_{n\to\+\infty}f_n(x)$

Pour montrer que la fonction $f$ est bornée, ce qu'il y a dans mon corrigé est :

$\forall x\in\R, \vert f(x)\vert\leq\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert\leq\varepsilon+sup_{x\in\R}\vert f_N(x)\vert$

J'arrive à peu prés à comprendre comment on arrive de la première inégalité à la seconde mais j'aurais préféré encadrer $f_n(x)$, là je ne comprends pas à quoi correspond $\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert$.

Merci de votre aide.
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Re: fonction bornée

Messagepar bibi6 » Jeudi 20 Octobre 2011, 09:44

Bonjour,

paspythagore a écrit:J'arrive à peu prés à comprendre comment on arrive de la première inégalité à la seconde mais j'aurais préféré encadrer $f_n(x)$, là je ne comprends pas à quoi correspond $\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert$.


tu veux dire: comment obtient-on la première inégalité?
Inégalité triangulaire...

Ce qu'il faut comprendre ensuite, c'est qu'il n'y a pas tous les détails dans ces inégalités. Pour bien saisir ce qu'il se passe, tu peux les faire...
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Re: Fonction bornée

Messagepar paspythagore » Jeudi 20 Octobre 2011, 20:39

Ce que je voulais dire, c'est pourquoi $\forall x\in\R, \vert f(x)\vert\leq\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert\leq\varepsilon+sup_{x\in\R}\vert f_N(x)\vert$ montre que $f$ est bornée ?
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Re: Fonction bornée

Messagepar guiguiche » Jeudi 20 Octobre 2011, 21:35

Le réel $\sup_{\R}f_N$ ne dépend pas de la variable x (même si tu l'as écrit ainsi).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Fonction bornée

Messagepar paspythagore » Vendredi 21 Octobre 2011, 07:59

Merci guiguiche.

Je comprends que $\vert f(x)\vert$ et $\varepsilon+sup_{x\in\R}\vert f_N(x)\vert$ soient des bornes (la limite et le sup), mais je ne comprends pas comment (pourquoi) $\vert f(x)-f_N(x)\vert+\vert f_N(x)\vert$ représente $f$
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Re: Fonction bornée

Messagepar Valvino » Vendredi 21 Octobre 2011, 09:32

Ben ici tu as majoré $|f(x)|$ par un truc qui ne dépend pas de $x$ pour tout $x \in \R$, c'est la définition d'être borné...
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Re: Fonction bornée

Messagepar paspythagore » Vendredi 21 Octobre 2011, 09:53

Mais $f(x)=lim_{n\to\+\infty}f_n(x)$, ça n'est pas $f_n(x)$ qu'il fallait majorer ?
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Re: Fonction bornée

Messagepar OG » Vendredi 21 Octobre 2011, 10:34

paspythagore a écrit:Mais $f(x)=lim_{n\to\+\infty}f_n(x)$, ça n'est pas $f_n(x)$ qu'il fallait majorer ?


N'y a-t-il l'hypothèse $f_n$ bornée pour tout $n$ ?
Tout vient de l'artifice de calcul $f(x)=f(x)-f_n(x) + f_n(x)$ et de l'inégalité triangulaire,
avec un premier terme borné indépendamment de $x$ car $f_n$ converge uniformément
et un second terme borné indépendamment de $x$ par hypothèse sur $f_n$
(il faut juste bien écrire la preuve avec le epsilon, le choix du $n$ et l'articulation).

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Re: Fonction bornée

Messagepar Tonn83 » Mercredi 26 Octobre 2011, 14:26

Mais quelle était la question ?
  • Montrer qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions bornées $f:\R\to\R$ est une fonction bornée ?
  • Montrer que si une suite de fonctions $f_n:\R\to\R$ converge uniformément vers une fonction bornée, alors $f_n$ est bornée pour $n$ suffisamment grand ?
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