Fibonacci

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Fibonacci

Messagepar Tolbo » Mardi 17 Février 2009, 21:43

Bonjour,

ayant démontré que $F_{n+m}=F_{n+1}F_{m} + F_{n}F_{m-1}$ je voudrai démontrer que

$F_{3n} = F^3_{n+1} + F^3_{n}+F^3_{n-1}$

J'ai calculé :
$F_{3n} = F_{n+1}F_{2n}+F_{n}F_{2n-1}       $ , (m=2n)
et
$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1} + F_{n-1})               $ , (m=n)
et
$F_{2n+1}=F^2_{n+1} + F^2_{n}           $ , (m=n+1)

donc

$F_{3n}=F_{n+1}F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1}) +F_{n}(F_{2n+1}+F_{2n})$
$         =F^2_{n+1}F_{n}+F_{n+1}F_{n}F_{n-1} +F_{n}[F^2_{n+1}+F_{n} ( F_{n+1}+F_{n-1})]$

Ensuite je ne vois pas, j'ai l'impression de me diriger vers une impasse ( ou il y a peut-être une erreur dans mes calculs ).
Comment faire ?

Merci d'avance.
Tolbo
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Re: Fibonacci

Messagepar José » Jeudi 19 Février 2009, 22:02

Salut.
Si j'ai bien compris, on a : $F_{n+m}=F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}$ donc : $F_{3n}=F_{2n+n}=F_{2n+1}F_{n}+F_{2n}F_{n-1}$
or $F_{2n+1}=F_{n+(n+1)}=F_{n+1}^2+F_{n}^2$ et $F_{2n}=F_{n+1}F_{n}+F_{n}F_{n-1}$ donc en réinjectant :
$F_{3n}=F_n(F_{n+1}^2+F_n^2)+F_{n-1}(F_{n+1}F_{n}+F_{n}F_{n-1})=F_n^3+F_n(F_{n-1}^2+F_{n-1}F_{n+1}+F_{n-1}^2)$ la dernière égalité étant obtenue en factorisant par $F_n$...
Ensuite utiliser dans le fait que $F_n=F_{n+1}-F_{n-1}$...
Sauf erreur de calcul moi je trouve plutôt : $F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3 - F_{n-1}^3$ avec une soustraction à la fin donc...
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José
José
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