Fibonacci et nombre d'or

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Fibonacci et nombre d'or

Messagepar Tolbo » Dimanche 15 Mars 2009, 01:49

Bonjour,

comment prouver que :

$$F_n = \dfrac{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}$$



J'ai tenté une récurrence mais en vain.
Tolbo
Kilo-utilisateur
 
Messages: 172
Inscription: Vendredi 22 Février 2008, 19:45
Statut actuel: Post-bac | Licence

Publicité

Re: Fibonacci et nombre d'or.

Messagepar EricK » Dimanche 15 Mars 2009, 08:26

Par récurrence, un calcul direct fonctionne ... même si ce n'est pas une bonne idée.

Demandez vous quelles sont les suites géométriques vérifiant $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ et utilisez la structure d'espace vectoriel des suites vérifiant une telle relation.
EricK
Téra-utilisateur
 
Messages: 1483
Inscription: Jeudi 02 Novembre 2006, 22:38
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Fibonacci et nombre d'or

Messagepar Tolbo » Dimanche 15 Mars 2009, 17:18

En posant $F_n =a*q^n$ je trouve que $q = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $ ou $q = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} $ mais ne vois pas quoi en faire.
Tolbo
Kilo-utilisateur
 
Messages: 172
Inscription: Vendredi 22 Février 2008, 19:45
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: Fibonacci et nombre d'or

Messagepar EricK » Dimanche 15 Mars 2009, 18:17

L'espace des suites vérifiant cette relation est de dimension deux et tu as trouvé deux suites géométriques linéairement indépendantes vérifiant la relation. Tu as donc une base de l'espace et toute suite de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire de tes deux suites géométriques ... en particulier la suite de Fibonacci.
EricK
Téra-utilisateur
 
Messages: 1483
Inscription: Jeudi 02 Novembre 2006, 22:38
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Fibonacci et nombre d'or

Messagepar Tolbo » Dimanche 15 Mars 2009, 18:42

EricK a écrit:L'espace des suites vérifiant cette relation est de dimension deux


Comment le deviner ?


Sinon pour la suite : on a donc $ F_n = aq_1 +bq_2$ et on trouve a et b grâce aux premiers termes.
Tolbo
Kilo-utilisateur
 
Messages: 172
Inscription: Vendredi 22 Février 2008, 19:45
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: Fibonacci et nombre d'or

Messagepar EricK » Dimanche 15 Mars 2009, 19:30

Le fait que ce soit un sev de l'espace des suites réelles ne pose pas de problème. On note $S$ l'ev des suites vérifiant cette relation. Il suffit de prouver que l'application $\varphi\colon S\to\mathbb{R}^2$ définie par $\varphi(u_n)=(u_0,u_1)$ est un isomorphisme d'ev.


Sinon, ne pas oublier les puissances dans ta formule :
$F_n=aq_1^n+bq_2^n$
EricK
Téra-utilisateur
 
Messages: 1483
Inscription: Jeudi 02 Novembre 2006, 22:38
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 7 invités