fermeture et limite

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Re: fermeture et limite

Messagepar paspythagore » Jeudi 16 Janvier 2014, 22:03

$X\setminus F\text{ n'est pas un ouvert }\Longleftrightarrow\exists a\in X\setminus F,$ $\forall\alpha>0,B_0(a,\alpha)\nsubseteq X\setminus F$

Donc : $\exists x\in B_0(a,\alpha), \text{ tel que }x\in F$

Je n'arrive pas à construire la suite.

Après, je ne comprends pas la définition de mon cours :
Soit $A$, une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{fermé} si son complémentaire est ouvert, autrement dit si, pour tout $x$ dans $X$,

$$\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\Longrightarrow x\in A\big)$$


Par convention, l'ensemble vide est fermé.

Comment $x$ peut être le centre de la boule et donc appartenir à celle ci et appartenir à $A$ aussi alors que $B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing$ ?
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Re: fermeture et limite

Messagepar balf » Jeudi 16 Janvier 2014, 22:47

paspythagore a écrit:$X\setminus F\text{ n'est pas un ouvert }\Longleftrightarrow\exists a\in X\setminus F,$ $\forall\alpha>0,B_0(a,\alpha)\nsubseteq X\setminus F$

Donc : $\exists x\in B_0(a,\alpha), \text{ tel que }x\in F$

Je n'arrive pas à construire la suite.

On prend successivement α =1, 1/2, 1/3, &c. On trouve donc un élément x₁tel que d(x₁,α) < 1, puis un élément x₂ tel que d(x₂,α) < 1/2, et ainsi de suite.
Après, je ne comprends pas la définition de mon cours :
Soit $A$, une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est un \textbf{fermé} si son complémentaire est ouvert, autrement dit si, pour tout $x$ dans $X$,

$$\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\Longrightarrow x\in A\big)$$


Par convention, l'ensemble vide est fermé.

Comment $x$ peut être le centre de la boule et donc appartenir à celle ci et appartenir à $A$ aussi alors que $B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing$ ?

Et alors ? Il est interdit que le centre d'une boule soit dans A ? Puisque l'intersection est non vide, il n'y a pas contradiction.

Au passage, on peut remarquer que cette caractérisation des fermés, qui repose sur l'énoncé contraposé de celui qui caractérise le fait que X \A soit ouvert, fournit directement la démonstration demandée.

B.A.
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Re: fermeture et limite

Messagepar paspythagore » Jeudi 16 Janvier 2014, 22:52

balf a écrit:Et alors ? Il est interdit que le centre d'une boule soit dans A ? Puisque l'intersection est non vide, il n'y a pas contradiction.
B.A.

:oops: Je m'excuse.
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Re: fermeture et limite

Messagepar balf » Jeudi 16 Janvier 2014, 22:57

Vous n'avez pas à vous excuser ; ce qui est important, c'est de comprendre ce qui vous a fait penser qu'il y avait une contradiction.

B.A.
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Re: fermeture et limite

Messagepar paspythagore » Vendredi 17 Janvier 2014, 20:44

Bonsoir.
Ce que je ne comprends c'est cette définition d'un fermé.
Qu'a donc de particulier la boule $B(x,\alpha)$ pour que si elle s'intersecte avec un fermé, son centre soit nécessairement dans ce fermé ?
D'ailleurs cette boule est elle fermée ou ouverte ?


Après, comme quelque chose m'échappe, je n'arrive pas à conclure.
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Re: fermeture et limite

Messagepar Minibob59 » Vendredi 17 Janvier 2014, 21:46

Attention, balf n'a pas dit que le centre de la boule était nécessairement dans le fermé, mais simplement que rien ne l'empêche d'y être...

Soit $A$, une partie d'un espace métrique $(X,d)$. On dit que $A$ est un fermé si son complémentaire est ouvert, autrement dit si, pour tout $x$ dans $X$,

$$\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\Longrightarrow x\in A\big)$$


Cette propriété signifie que tout point de $X$ qui est "collé" à $A$ appartient nécessairement à $A$. On peut encore traduire ça par :
$A$ est un fermé $\iff (\forall x \in X, \; d(x,A) = 0 \iff x \in A)$


Pour ce qui est de la démonstration de la réciproque de la propriété du début de post, ça va mieux ?
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Re: fermeture et limite

Messagepar balf » Vendredi 17 Janvier 2014, 23:38

paspythagore a écrit:Bonsoir.
Ce que je ne comprends c'est cette définition d'un fermé.

Je précise, alors : d'abord, la boule est ce qu'on veut (ce n'est pas crucial, dans le contexte d'un espace métrique), mais provenant de la définition d'un ouvert, elle serait plutôt ouverte.

Ensuite, la contraposée : X \ Α est ouvert ssi, pour tout x :
x ∈ X \ A $\Rightarrow$ ∃α > 0, Β(χ, α) ⊂ Χ \ A,

c.-à-d.
x ∈ X \ A $\Rightarrow$ ∃α > 0, B(χ, α) $\cap$ A = ∅

La contraposée est donc :
∀α,B(χ, α) $\cap$ A $\neq$$\Rightarrow$ x ∈A
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Re: fermeture et limite

Messagepar paspythagore » Samedi 18 Janvier 2014, 20:52

Bonsoir.
Pour tout $x$ dans $X$,

$$\big(\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing\Longrightarrow x\in A\big)$$


Ca ne veut pas dire que $x$ est nécessairement dans le fermé $A$ ?
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Re: fermeture et limite

Messagepar balf » Samedi 18 Janvier 2014, 21:36

Si. C'est ce que j'ai justifié par contraposition dans le message précédent (et ça ne marche que parce que A est fermé).

B.A.
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Re: fermeture et limite

Messagepar Minibob59 » Samedi 18 Janvier 2014, 22:07

paspythagore a écrit:Ca ne veut pas dire que $x$ est nécessairement dans le fermé $A$ ?

Au temps pour moi, quand dans un post précédent j'ai dit que le centre de la boule n'était pas nécessairement dans $A$, c'était faux.

paspythagore a écrit:Qu'a donc de particulier la boule $B(x,\alpha)$ pour que si elle s'intersecte avec un fermé, son centre soit nécessairement dans ce fermé ?

Ce n'est pas la boule qui a quelque chose de particulier, c'est $A$ : c'est un fermé ; comme l'a dit balf, c'est cette propriété qui fait que ça marche.

paspythagore a écrit:D'ailleurs cette boule est elle fermée ou ouverte ?

Aucune importance ici. Mais pourquoi ?... ^^
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Re: fermeture et limite

Messagepar balf » Samedi 18 Janvier 2014, 23:17

Que A soit fermé ou non, la propriété :

$$\forall\alpha>0,B(x,\alpha)\cap A\neq\varnothing$$


signifie que le point x est adhérent à A. Et A est fermé si et seulement si tout point adhérent à A est élément de A.

B.A.
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