Fermeture d'un ensemble

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Fermeture d'un ensemble

Messagepar raoul n k » Vendredi 25 Mars 2011, 20:47

Comment montrer (sans utiliser les suites si possible) que $\{(x,\frac{1}{x}),x<0\}$ est fermé? Merci d'avance.
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Vendredi 25 Mars 2011, 21:23

En l'écrivant comme l'image réciproque d'un fermé par une application continue
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Samedi 26 Mars 2011, 01:32

Ou plus simplement en monntrant que son complémentaire est ouvert dans R².

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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Samedi 26 Mars 2011, 14:47

C'est bien plus compliqué ! (ou alors explique moi comment tu fais)
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Samedi 26 Mars 2011, 22:04

Ce n'est pas tellement plus compliqué, à cause de la condition x<0. Cela oblige à raconter que la courbe d'équation xy=1 a deux composantes connexes, à dire que chaque composante connexe est ouverte et fermée (dans la courbe) donc à parler de topologie induite sur un sous-espace. Bref, tout dépend du niveau auquel on se place.

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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Dimanche 27 Mars 2011, 10:25

Je suis vraiment curieux de savoir comment tu fais avec ta méthode, parce qu'avec la mienne ça prend 2 lignes
Nul besoin de s'embêter avec la topologie induite (avec les intersections c'est infiniment plus simple)
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Dimanche 27 Mars 2011, 12:56

Pour chaque point M en dehors de la branche d'hyperbole, un disque ouvert centré en M et de rayon inférieur à la distance de M à cette branche est entièrement contenu dans le complémentaire.

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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar raoul n k » Dimanche 27 Mars 2011, 15:49

Je comprends balf mais pas PRND: c'est quoi son application?
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Dimanche 27 Mars 2011, 18:36

balf a écrit:Pour chaque point M en dehors de la branche d'hyperbole, un disque ouvert centré en M et de rayon inférieur à la distance de M à cette branche est entièrement contenu dans le complémentaire.

Cool ! Avec ta démonstration, tout ensemble est fermé

raoul n k a écrit:Je comprends balf mais pas PRND: c'est quoi son application?

$f(x,y)=xy$ tout simplement
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Dimanche 27 Mars 2011, 19:50

@PRND: non : le complémentaire d'une (composante connexe d'une) courbe algébrique est ouvert (ou une courbe algébrique est fermée).

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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar raoul n k » Dimanche 27 Mars 2011, 23:43

J'ai pensé à $f(x,y) = xy$ mais la continuité n'est pas aisée.
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Dimanche 27 Mars 2011, 23:47

balf a écrit:@PRND: non : le complémentaire d'une (composante connexe d'une) courbe algébrique est ouvert (ou une courbe algébrique est fermée).

Je savais, merci

Ce que je voulais dire, c'est que dans ta démonstration, on ne voit pas pourquoi on ne pourrait pas remplacer la branche d'hyperbole par un ensemble quelconque, ce qui prouverait que tout ensemble est fermé.

Donc ta démonstration ne tient pas debout
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar PRND » Dimanche 27 Mars 2011, 23:50

raoul n k a écrit:J'ai pensé à $f(x,y) = xy$ mais la continuité n'est pas aisée.

Normalement, c'est dans ton cours (il doit y avoir une liste des fonctions usuelles continues)
Tu es à quel niveau d'étude ?
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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Lundi 28 Mars 2011, 09:30

@PRND : ça fonctionne parce que pour chaque point M, il existe un point de la branche d'hyperbole qui est le plus proche de M (on le vérifie soit algébriquement, soit en le considérant comme un problème de minimum avec contrainte).

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Re: fermeture d'un ensemble

Messagepar raoul n k » Lundi 28 Mars 2011, 17:56

J'ai fini la licence; je suis un peu au quartier pour le moment. Je crois avoir eu cette continuité dans le cours de mesure de licence; je vais regarder; merci.
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Re: Fermeture d'un ensemble

Messagepar Tonn83 » Vendredi 01 Avril 2011, 13:54

Pour vérifier la continuité de la fonction $f:(x,y)\mapsto xy$ (définie sur $\R^2$), il suffit d'écrire que pour tous couples $(x,y)$ et $(x',y')$ de réels,
$\left|xy-x'y'\right|=|x(y-y')+(x-x')y+(x-x')(y'-y)|\leq |x||y-y'|+|x-x'||y|+|x-x'||y-y'| $.

On en déduit que $f^{-1}(1)$ est une partie fermée de $\R^2$, mais cela ne suffit pas pour répondre à la question posée par Raoul. Il faut constater que
$\left\{(x,y),\, xy=1\mbox{ et }x<0\}=f^{-1}(1)\cup\left(\R_-\times \R\right) $

est l'intersection de deux parties fermées.

@Balf : La méthode proposée par PRND tient en trois ou quatre lignes, la preuve de la continuité de $f$ incluse. Ton approche est également intéressante, peux-tu la détailler (sans utiliser le théorème des extremas liés) ?
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Re: Fermeture d'un ensemble

Messagepar balf » Samedi 02 Avril 2011, 22:11

Le point le plus proche est le pied d'une normale à la branche d'hyperbole qui passe par M : on prend donc un point quelconque $(x_0,y_0)$ sur la branche définie par xy=1, x<0. La tangente en ce point a pour équation $y_0(x-x_0)+x_0(y-y_0)=0$. La normale a donc pour équation $x_0(x-x_0)-y_0(y-y_0)=0$. Il suffit d'écrire que cette droite passe par M et que $x_0y_0=1,\ x_0<0$. Il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation (qui sera de degré 4), mais juste de savoir qu'un telle normale existe (il y en a en fait une ou deux par branche selon la position du point M (entre les deux branches ou à l'extérieur). Le point le plus proche est nécessairement le pied d'une des normales qui passent par M.

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Re: Fermeture d'un ensemble

Messagepar Tonn83 » Mercredi 06 Avril 2011, 00:13

Il faut également justifier que l'équation obtenue possède au moins deux solutions réelles, chacune donnant les coordonnées d'un point sur chaque branche de l'hyperbole.
Merci.
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