exercices sur les compacts

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exercices sur les compacts

Messagepar paspythagore » Samedi 05 Octobre 2013, 17:22

Bonjour.
Pour essayer de digérer la théorie j'essaie de faire un exercice sur les compacts.
Est ce que la partie de $\R^2$ suivantes est compacte.

$$A=\{(x,y)\in\R^2|y\geq e^x,x\geq0,y\geq0\text{ et }x+y\leq2\}$$


La méthode utilisée est de voir si l'ensemble est fermé et borné, ce qui impliquerait que l'espace muni de la distance usuele soit compact.
On a :
$A=\{(x,y)\in\R^2|\Phi(x,y)\geq0, p_1(x,y)\geq0,p_2(x,y)\geq0$ et
$\psi(x,y)\leq0\}$.
$\Phi, \psi, p_1,p_2$ de $\R^2\to\R$ sont des applications continues données par :
$\Phi(x,y)=y-e^x, p_1(x,y)=x,p_2(x,y)=y\text{ et }\psi(x,y)=x+y-2$.

Donc :
$A=\Phi^{-1}([0,+\infty[)\cap p_1^{-1}([0,+\infty[)\cap p_2^{-1}([0,+\infty[)\cap\psi^{-1}(]-\infty,0])$

Le $\psi^{-1}(]-\infty,0])$ à la fin, c'est une erreur dans mon corrigé, on devrait avoir $\psi^{-1}(]-\infty,2])$ ?
$\R$ est il compact ?
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Re: exercices sur les compacts

Messagepar Minibob59 » Samedi 05 Octobre 2013, 17:32

Bonsoir,

Pour ce genre d'exercice, faire un dessin. Par des histoires d'image réciproque d'un fermé par une fonction continue, on a facilement que la partie considérée est fermée.
Pour le caractère borné, il est à peu près évident que $1 \leq y \leq 2$ et que $0 \leq x \leq 2$...

$\mathbb{R}$ n'est certainement pas compact car non borné.
Minibob59 !
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Re: exercices sur les compacts

Messagepar balf » Samedi 05 Octobre 2013, 17:41

Non, il n'y a pas d'erreur dans le corrigé.
R n'est pas compact puisqu'il n'est pas borné. Il n'est que localement compact (= séparé et tout point possède un voisinage compact). D'ailleurs la propriété « compact ssi fermé borné  » pour un espace vectoriel réel caractérise les espaces de dimension finie.
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Re: exercices sur les compacts

Messagepar paspythagore » Samedi 05 Octobre 2013, 23:13

Merci.
balf a écrit:Non, il n'y a pas d'erreur dans le corrigé.
$\psi(x,y)=x+y-2$
$x+y\leq2$
$x+y-2\leq0$
Donc : $\psi(x,y)\leq0$.

Donc $\psi^{-1}(]-\infty,0])$...

Je m'excuse, un peu de déconcentration.
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