[L1/L2] Exercice étrange sur la continuité

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[L1/L2] Exercice étrange sur la continuité

Messagepar guiguiche » Dimanche 10 Septembre 2006, 08:46

Je découvre l'exercice suivant (n°661 à la page http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/exohtml/p2node15.html, exercice non corrigé) :
Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0,1]$ et à valeurs réelles. Déterminer la limite:

$$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}f\left(\frac{k}{n}\right)}}}$$



Pour $f$ nulle, le résultat est immédiat.
Pour $f$ constante égale à 1, il y a un problème.
Pour $f:x\mapsto x$, même problème.

Quelqu'un connaît-il cet exercice? ou un énoncé proche? Je délire?
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Messagepar François D. » Dimanche 10 Septembre 2006, 10:27

Deux petites remarques :

-- l'énoncé original demande d'« évaluer » la limite indiquée ;
-- si $f$ est constante (égale à 1 ou tout réel $a$), il n'y a pas de limite :
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k f\left(\frac{k}{n}\right)=-a$ si $n$ est impair et 0 si $n$ est pair, ou bien ?

Reste tous les autres cas ...
L'hypothèse de continuité sur un compact qui plus est ne permet-elle pas d'envisager d'intervertir la somme et la limite ?
À voir de plus près ...
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Messagepar guiguiche » Dimanche 10 Septembre 2006, 10:32

François D. a écrit:-- l'énoncé original demande d'« évaluer » la limite indiquée ;

Je ne comprends pas bien alors : pourquoi évaluer ce qui ne semble pas exister.

François D. a écrit:-- si $f$ est constante (égale à 1 ou tout réel $a$), il n'y a pas de limite :
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k f\left(\frac{k}{n}\right)=-a$ si $n$ est impair et 0 si $n$ est pair, ou bien ?

Que $f$ soit constante non nulle ou l'application identique, la suite semble avoir deux valeurs d'adhérence obtenues à l'aide des suites extraites des rangs pairs et impairs.

François D. a écrit:Reste tous les autres cas ... L'hypothèse de continuité sur un compact qui plus est ne permet-elle pas d'envisager d'intervertir la somme et la limite ? À voir de plus près ...

Si dans les cas simples, il n'y a pas de réponse positive, je ne vois pas l'intérêt d'aller chercher plus loin.
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Messagepar François D. » Dimanche 10 Septembre 2006, 10:40

guiguiche a écrit:
François D. a écrit:-- l'énoncé original demande d'« évaluer » la limite indiquée ;

Je ne comprends pas bien alors : pourquoi évaluer ce qui ne semble pas exister.


Je pense qu'« évaluer » se veut assez neutre pour ne pas donner d'indication, même indirecte, sur l'existence éventuelle d'une limite, alors que dire « quelle est la limite de ... ? » suppose plus ou moins que cette limite existe.

guiguiche a écrit:
François D. a écrit:-- si $f$ est constante (égale à 1 ou tout réel $a$), il n'y a pas de limite :
$ \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k f\left(\frac{k}{n}\right)=-a$ si $n$ est impair et 0 si $n$ est pair, ou bien ?

Que $f$ soit constante non nulle ou l'application identique, la suite semble avoir deux valeurs d'adhérence obtenues à l'aide des suites extraites des rangs pairs et impairs.


OK


guiguiche a écrit:
François D. a écrit:Reste tous les autres cas ... L'hypothèse de continuité sur un compact qui plus est ne permet-elle pas d'envisager d'intervertir la somme et la limite ? À voir de plus près ...

Si dans les cas simples, il n'y a pas de réponse positive, je ne vois pas l'intérêt d'aller chercher plus loin.


Bah ... peut-être un exercice pour illustrer les problèmes de passage à la limite avec la continuité :? ...
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Messagepar MB » Dimanche 10 Septembre 2006, 10:40

François D. a écrit:L'hypothèse de continuité sur un compact qui plus est ne permet-elle pas d'envisager d'intervertir la somme et la limite ?


Et comment ?
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Re: [L1/L2] Exercice étrange sur la continuité

Messagepar acid24 » Mardi 12 Septembre 2006, 11:07

je pencherai pour
1)une erreur d'énoncé, un oubli de $\frac{1}{n} $

$$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}f\left(\frac{k}{n}\right)}}}$$



qui devrait tendre vers $0$ , en "coupant" en deux sommes de Riemann.

2)ou bien, pas d'erreur d'énoncé, si $\displaystyle{\lim_{x \to 0}f(x)=0}$et f de classe $\mc{C}^1$,en appliquant taylor en $0$ à chaque terme ... (la suite après reflexion :pullhair: )
je parie que $\frac{f'(0)}{2}$ va intervenir ...
Dernière édition par acid24 le Mardi 12 Septembre 2006, 13:11, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Mardi 12 Septembre 2006, 11:59

Merci pour les pistes, je vais les méditer.
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Re: [L1/L2] Exercice étrange sur la continuité

Messagepar acid24 » Mardi 12 Septembre 2006, 13:21

en fait je pense que je me suis trop avancé, pour la deuxieme remarque,
peut etre une autre erreur, supposons qu'on ai $n^2$ au dénominateur

$$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}f\left(\frac{k}{\mathbf{n^2}}\right)}}}$$



mais bon, ce n'est pas une façon de résoudre un PB , en imaginant les fautes d'énoncé :?
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Messagepar guiguiche » Mardi 12 Septembre 2006, 14:51

Je connaissais un énoncé similaire à ta deuxième proposition avec effectivement un $n^2$.
Concernant ta première proposition, je suis sceptique sur les somme de Riemann car le chapitre sur la continuité est antérieur à celaui sur l'intégration et de plus je ne suis pas du tout convaincu que la séparation en deux sommes permet de conclure (il manque des termes). Par contre j'imagine bien qu'il manque le facteur $\frac{1}{n}$ et je regrouperai bien les termes par deux avec utilisation de la continuité en $\frac{2k}{n}$ pour exprimer $f(\frac{2k+1}{n})$ mais je ne suis pas sûr de pouvoir conclure ainsi.
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Messagepar acid24 » Mardi 12 Septembre 2006, 16:12

non , meilleure idée, avec l'énoncé de départ :) :
Soit $\displaystyle{u_n(f)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}f\left(\frac{k}{n}\right)}}}$
alors si $n$ pair $n=2p$
$\displaystyle{u_{2p}(f)=\sum_{k=1}^{p}{f\left(\frac{2k}{2p}\right)-f\left(\frac{2k-1}{2p}\right)  } = \frac{1}{p} \sum_{k=1}^{p} \Delta(f,k,p)  }$

$  \Delta(f,k,p)= p \left (  f \left(\frac{2k}{2p}\right)-f\left(\frac{2k-1}{2p}\right)} \right ) $ cela ressemble à une différence finie et sous de bonnes hypotheses de dérivabilité de f cela est proche de
$\frac{1}{2}~ f'(\frac{k}{p})$

donc on va arriver à la somme de riemann (désolé mais...)
$\displaystyle{u_{2p}(f) \approx  \frac{1}{2p} \sum_{k=1}^{p} f'(\frac{k}{p}) }$ qui tend quand $p\rightarrow \infty$ vers $\frac{1}{2}(f(1)-f(0))$
bref , il ya surement des fautes, c'est à la louche mais ....
le cas n impair donne une autre valeur d'adherence ... (mais j'ai pas le temps ....
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Messagepar guiguiche » Mardi 12 Septembre 2006, 18:06

L'inconvénient de ce que tu proposes est que cela nécessite la dérivabilité de f. Or cet exercice est proposé dans le chapitre sur la continuité.
Par contre, par développement limité à l'ordre 0 en $\frac{2k}{n}$, on a:

$$f\left(\frac{2k}{n}\right)-f\left(\frac{2k+1}{n}\right)=\underset{n\to+\infty}{o}\left(\frac{1}{n}\right)$$


On somme tout cela et on multiplie par le facteur potentiellement manquant $\frac{1}{n}$ et on doit s'en sortir que $n$ soit pair ou impair. A la louche aussi ...
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Messagepar acid24 » Mardi 12 Septembre 2006, 20:51

ok , vu le contexte , je suis d'accord , c'est plutôt une erreur .... n'empeche que ya du potentiel d'exos "techniques" la dedans (gniarf gniarf :twisted: )
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Messagepar guiguiche » Mardi 12 Septembre 2006, 21:15

Cela dit, je ne suis pas encore convaincu par ce que je propose : une somme de n/2 suites de la forme o(1/n) et que l'on divise par n converge-t-elle vers 0 ?
Il va falloir affiner la technique.
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Messagepar acid24 » Mardi 12 Septembre 2006, 21:54

de façon "bourrine" , j'utiliserai la continuité uniforme de f pour dire : soit $\epsilon$ fixé
$\exists N$ tel que $\forall n>N ,\forall k \in [1,n/2],~ |f\left(\frac{2k}{n}\right)-f\left(\frac{2k+1}{n}\right)|<\epsilon $ après on peut sommer , on est debarassé des $k$
je trouve cela plus propre que de travailler avec les "petit o "
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Messagepar François D. » Mercredi 13 Septembre 2006, 08:48

En toute immodestie :wink: : c'est plus ou moins à cette continuité uniforme que je pensais dans un de mes messages précédents (celui où je parmais d'exploiter la continuite de $f$ sur un compact) ...
Simplement, mes souvenirs étant ce qu'ils sont, j'ai préféré ne pas en dire plus, de peur de dire des bêtises :oops: ...
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Messagepar guiguiche » Mercredi 13 Septembre 2006, 10:14

François D. a écrit:Simplement, mes souvenirs étant ce qu'ils sont, j'ai préféré ne pas en dire plus, de peur de dire des bêtises :oops: ...

Cela fait bientôt 15 ans que je n'utilise plus la continuité uniforme et les lacunes s'amplifient ... :crybaby:
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