[1ère année] Exercice d'algèbre

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[1ère année] Exercice d'algèbre

Messagepar pihro » Samedi 13 Janvier 2007, 20:41

Bonsoir,

Voici mon problème, ma solution et mes attentes...



Enoncé

On pose :

$$M= \left(\begin{matrix}1&0&-1&1\\2&1&-1&2\\0&1&3&3\end{matrix}\right)$$



1) Calculer le rang de $M$, noté $r$.
2) Déterminer $(P,Q)\in\mathcal{GL}_3(\R)\times\mathcal{GL}_4(\R)$ tel que $M=PJ_{3,4,r}Q$.

Ma réponse


1) Le rang de la matrice vaut 3 (les colonnes 1, 2 et 3 ne sont clairement pas proportionnelles, et la colonne 4 vaut 3 fois la deuxième, moins la première)

2) On appelle $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de $\R^4$, aussi notée $e$.
On appelle $(f_1,f_2,f_3)$ la base canonique de $\R^3$, aussi notée $f$.
Il existe $u\in L(\R^4,\R^3)$ tel que $M_{e,f}(u)=M$.
Donc, d'après le théorème du rang, $\mbox{dim}(\mbox{ker}(u))=4-3=1$. Il existe donc $(e'_4)$ une base de $\mbox{ker}(u)$. Le théorème de la base incomplète assure qu'il existe $(e_1',e_2',e_3')\in\R^3$ tel que $(e_1',e_2',e_3',e'_4)$ soit une base de $\R^4$.

Cherchons une base de $\mbox{ker}(u)$ :
Soit $X\in\R^4$ de coordonnées $(x,y,z,t)$ dans $e$.

$$\begin{array}{lll}
     X\in\mbox{ker}(u) & ssi & u(X)=0\\
     & ssi & \widetilde{u}(x,y,z,t)=0\\
     & ssi & \left(\begin{matrix}1&0&-1&1\\2&1&-1&2\\0&1&3&3\end{matrix}\right)
     \left(\begin{matrix} x\\y\\z\\t\ \end{matrix}\right) = 0\\
     & ssi & (x,y,z,t)\in\mbox{Vect}(-5,3,-3,2)\\
     & ssi & X=(-5,3,-3,2)
     \end{array}
 $$


Donc $\boxed{e'_4=(-5,3,-3,2)}$
On peut alors poser $\boxed{(e'_1,e'_2,e'_3,e'_4)=(e_1,e_2,e_3,(-5,3,-3,2))}$, qui est clairement une base.
On pose pour tout $i\in\llbracket 1,3 \rrbracket$, $u(e'_i)=f'_i$.
On remarque que
$\boxed{f'_1=u(e'_1)=(1,2,0)}$,
$\boxed{f'_2=u(e'_2)=(0,1,1)}$,
$\boxed{f'_3=u(e'_3)=(-1,-1,3)}$.
Comme $\mbox{vect}(e'_1,e'_2,e'_3)\oplus\mbox{ker}(u)=\R^4$, on sait que $(f'_1,f'_2,f'_3)$ est libre. Or $\mbox{dim}(\R^3)=3$, donc c'est de plus une base de $\R^3$. Donc :

$$ M_{e',f'}(u)=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{matrix}
 \right)=J_{3,4,3}$$


Or $M_{e,f}=P_f^{f'}M_{e',f'}(u)P_{e'}^{e}$, donc $M=P_f^{f'} J_{3,4,3}(u)P_{e'}^{e}$ (les matrices de passage étant par inversibles)
On remarque que :

$$M_{f',f'}=\left(\begin{matrix}1&0&-1\\2&1&-1\\0&1&3\end{matrix}\right)
     \qquad \mbox{et} \qquad M_{e,e'}=\left(\begin{matrix}1&0&0&5/2
     \\0&1&0&-3/2 \\0&0&1&3/2 \\0&0&0&1/2 \end{matrix}\right)
 $$


Finalement,

$$ M=\left(\begin{matrix}1&0&-1\\2&1&-1\\0&1&3\end{matrix}\right)
 J_{3,4,3} \left(\begin{matrix}1&0&0&5/2
     \\0&1&0&-3/2 \\0&0&1&3/2 \\0&0&0&1/2 \end{matrix}\right)
 $$



Ce que j'aimerai savoir

1) Est-ce que ma réponse est correcte (j'ai vérifié les matrices finales, elles semblent correctes... mais ce n'est pas pour ça que la raisonnement est bon !)
2) Est-ce que ma rédaction est suffisante pour un ds (sachant que j'ai eu la flemme de recopier le détail des calculs pour la base du noyau de $u$, et pour la matrice de passage 2)
3) Dernière question, et pas la moindre : à quoi ca sert d'écrire une matrice sous cette forme ?! (la méthode semble assez longue, alors j'espère qu'il y a un intérêt...)

Merci d'avance à ceux qui auront le courage de répondre à mes questions !
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Messagepar guiguiche » Samedi 13 Janvier 2007, 22:28

Je n'ai fait que survoler ce que tu as pris la (longue) peine de rédiger. Cela semble correct et suffisamment détaillé.
Pour l'utilité : c'est plus utile avec des matrices carrées que rectangulaires, cela parle aussi de classes d'équivalences (matrices équivalentes). Cet exercice permet de bien voir l'assimilation des changements de bases.
Peut-être que cette décomposition peut avoir un intérêt en calcul numérique (mais je ne m'y connais guère).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar pihro » Samedi 13 Janvier 2007, 23:02

D'accord, merci pour ta réponse !

J'ai trouvé sur le net la définition suivante de matrices équivalentes :
"Les matrices carrées $A$ et $B$ sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $A = QBP^{-1}$"
J'ai aussi vu que deux matrices $A$ et $B$ sont équivalentes ssi elles représentent la même application linéaire. Enfin, j'ai lu un résultat qui ressemblait beaucoup à un truc dans mon cours : deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang (dans le cours : $\mboxe{rg}(M)=r$ ssi il existe $(P,Q)\in\mathcal{GL}_n(\K)\times\mathcal{GL}_p(\K)$ tel que $M=PJ_{n,p,r}Q$... et la démonstration de ce résultat m'a servi de méthode pour résoudre l'exercice proposé)... peut-être est-ce là l'intérêt... mais je n'ai pas assez de recul encore pour le voir !!

En tout cas, la notion de matrices équivalentes n'apparaît pas dans mon cours... Alors il y a peut-être une autre application... Cet exercice apparaît à la suite d'un chapitre sur le calcul matriciel, plus particulièrement dans le paragraphe sur le rang d'une matrice... Si ca inspire quelqu'un !
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Messagepar Arnaud » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:33

Si ca inspire quelqu'un !


J'ai pas compris ce que tu voulais dire.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:42

Je n'ai pas bien compris si pihro était professeur [GTD_professeur] ou étudiant. La précision orienterait d'éventuelles réponses.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Tryphon » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:43

Pour la première question : le rang est au plus 3, car le rang des lignes est égal au rang des colonnes, et qu'il n'y a que 3 lignes). Tu n'as donc pas besoin de ton passage sur la 4ème colonne.

Par contre :

Dire que les lignes ne sont pas proportionnelles signifie que le rang n'est pas 1. Tu ne justifies pas que ce rang n'est pas 2, c'est à dire que (par exemple) la troisième ligne ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.
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Messagepar pihro » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:46

Arnaud a écrit:
Si ca inspire quelqu'un !


J'ai pas compris ce que tu voulais dire.


Mouais, c'est vrai que je devais être fatigué 8)

En fait, l'idée c'était de savoir à quoi pourrait servir cette forme... et plus particulièrement à quoi servent les matrices de type $J_{n,p,r}$.
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Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:51

pihro a écrit:et plus particulièrement à quoi servent les matrices de type $J_{n,p,r}$.

Je ne connaissais même pas cette notation.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Messagepar Arnaud » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:53

Ce genre de matrices simplifiées ( je parle des $J$ ) réduisent les calculs dans les démonstrations compliquées.
C'est toujours avantageux de pouvoir se ramener à des matrices de cette forme, dans une base convenable.
Arnaud

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Messagepar pihro » Dimanche 14 Janvier 2007, 20:57

guiguiche a écrit:Je n'ai pas bien compris si pihro était professeur [GTD_professeur] ou étudiant. La précision orienterait d'éventuelles réponses.


Je suis étudiant en 1ère année. J'ai demandé à faire parti du GdT pour avoir une petite idée des méthodes de cours des profs (j'aimerai bien etre prof plus tard) et parce que je voulais aussi voir comment faire de joli cours en latex ! :D

Apparemment, la matrice $J_{n,p,r}$ n'a pas un rôle fondamental en algèbre ; c'est toujours bon à savoir !

@Tryphon : merci pour ton explication sur les rangs de matrice... ca fait toujours un peu bluff qd je mets mes explications, et j'ai la flemme de faire un pivot qd ca semble clair...
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Messagepar pihro » Dimanche 14 Janvier 2007, 21:03

Arnaud a écrit:Ce genre de matrices simplifiées ( je parle des $J$ ) réduisent les calculs dans les démonstrations compliquées.
C'est toujours avantageux de pouvoir se ramener à des matrices de cette forme, dans une base convenable.


OK. C'est pour les exos durs donc ! :? C'est vrai que certaines démonstrations doivent etre immédiates une fois les matrices sous cette forme ; ca peut être utile de ramener un pb difficile à un problème long mais facile

Merci encore pour vos réponses !
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Messagepar Tryphon » Dimanche 14 Janvier 2007, 21:35

guiguiche a écrit:
pihro a écrit:et plus particulièrement à quoi servent les matrices de type $J_{n,p,r}$.

Je ne connaissais même pas cette notation.


Si mes souvenirs sont bons, Agreg externe math géné 2000, on s'en sert toutes les deux questions (accessoirement, c'est peut-être la plus ennuyeuse épreuve d'agreg de ces 10 dernières années)

[edit guiguiche : ah oui j'oubliais que tu passes tes étés sur des sujets d'agrég]
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