exemple d'espace non complet

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exemple d'espace non complet

Messagepar paspythagore » Samedi 12 Octobre 2013, 19:18

Bonjour.
Je ne comprends pas la correction de cet exercice.
Montrer que $\R$ muni de la distance $d_e(x,y)=|e^x-e^y|$ n'est pas complet.

La suite $u_n=-n$, pour tout $n\in\N$ est de Cauchy pour $d_e$ mais ne converge pas pour $d_e$.
$\forall\varepsilon>0,\exists N\leq n, e^{-n}<\varepsilon/2$
alors $p,q\geq N, d_e(u_p,u_q)\leq e^{-p}+e^{-q}<\varepsilon$ donc $u_n$ est de Cauchy.

Or $(u_n)_{n\in\N}$ ne peut converger pour $d_e$ car :
$\forall l\in\R,\ds\lim_{n\to\infty} d_e(u_n,l)=e^l>0$.

Pourquoi $\ds\lim_{n\to\infty} d_e(u_n,l)=e^l>0$
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Re: exemple d'espace non complet

Messagepar balf » Samedi 12 Octobre 2013, 19:59

Parce que d_ε(uₙ, l) =|e⁻ⁿ – e$^{\scriptscriptstyle\mathsf l}$|.

B.A.
Dernière édition par balf le Samedi 12 Octobre 2013, 20:58, édité 1 fois.
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Re: exemple d'espace non complet

Messagepar paspythagore » Samedi 12 Octobre 2013, 20:21

Merci.
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