évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

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évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

Messagepar stradovsky » Mardi 19 Mars 2013, 05:36

Bonjour,
Je cherche une manière de résoudre le problème suivant : Soit un cercle de rayon 1. Comment évaluer le rayon d'un 2e cercle dont le centre serait situé sur le périmètre du premier, et qui créerait une aire commune entre les 2 cercles équivalant à la moitié de l'aire du premier cercle.
J'essayais d'utiliser l'intégration avec les coordonnées cartésiennes, mais je n'y arrive pas (je ne suis pas sûr de pouvoir définir mes bornes).

Merci
Dernière édition par guiguiche le Mardi 19 Mars 2013, 08:21, édité 1 fois.
Raison: suppression de balises asy inutiles
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Re: évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

Messagepar balf » Mardi 19 Mars 2013, 16:04

L'intégration est inutile ici (sauf implicitement, bien sûr) : il suffit de savoir calculer l'aire du domaine compris entre une corde er l'un des arcs de cercle qu'elle détermine, et d'utiliser les relations métriques dans un triangle.

B.A.
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Re: évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

Messagepar stradovsky » Mardi 19 Mars 2013, 21:36

Je pensais le faire avec des intégrales, puisque c'est ce que nous voyons présentement dans le cours. J'essaie de trouver de l'info, mais je ne vois pas très bien comment faire avec les longueurs d'arc.
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Re: évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

Messagepar balf » Mardi 19 Mars 2013, 21:52

À l'aide du calcul intégral, je prendrais une représentation paramétrique du cercle de rayon inconnu, l'axe des abscisses étant la droite des centres.

B.A.
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Re: évaluer l'aire entre deux cercles avec un rayon inconnu!

Messagepar Tonn83 » Mercredi 20 Mars 2013, 20:43

Plusieurs méthodes :
  • Expression de l'aire en coordonnées polaires : on peut supposer que le centre du premier cercle est l'origine du repère et que $\theta=0$ est la coordonnée angulaire du centre du deuxième cercle. L'équation polaire du premier cercle s'obtient par Al-Kashi.
  • Expression de l'aire en coordonnées cartésiennes : on peut supposer que l'axe des abscisses est la droite reliant les centres O et O' des deux cercles.
  • Découpage : les deux cercles s'intersectent en des points A et B. Le segment $[AB]$ sépare le domaine étudier en deux. Les aires de ces deux parties se calculent séparémant en leur ajoutant respectivement les triangles OAB et O'AB.
Cordialement,
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