[MPSI] Etude suite complexe

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[MPSI] Etude suite complexe

Messagepar Pypaut » Mardi 13 Décembre 2016, 19:57

Bonsoir,

exercice assez basique (la frustration à son comble :roll: ) concernant les suites numériques, à valeurs complexes :

Etudier la suite complexe définie par :

$z_0 \in \mathbf{C*}$ et $\forall n \in N, z_{n+1} = \dfrac{2z_n}{1+\mid z_n\mid ^2}$

(veuillez excuser le fouillis dans la formule, c'est ma première utilisation de Latex)

Voici mon raisonnement :

-on définit la suite $U_n=\mid z_{n}\mid$ afin de ramener l'étude à une suite de $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$ (qui paraît a priori plus intéressante que les suites parties réelle et imaginaire)

-étude de la monotonie de la suite module via le signe de $u_{n+1}-u_n$

-on arrive à $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\mid z_n \mid (1-\mid z_n \mid^2)}{1+ \mid z_n \mid^2}$

-on discute (vérifie en fait) le signe de $(1-\mid z_n \mid^2)$, qui est positif (pour $n$ non nul) par l'écriture de $u_{n+1}-1$, qui est donc négatif sur $\mathbf{N}$*

-on a suite croissante et majorée par 1 (grâce à la dernière discussion), donc convergente vers une limite $l$

-par passage à la limite dans l'expression de $u_{n+1}$, on obtient trois limites possibles : $-1$, $0$, ou $1$ ; étant données les croissance et monotonie de la suite, la limite est $1$

-me voilà bloqué : une suite de module qui tend vers autre chose que $0$ ; on m'a aiguillé sur la suite des arguments pour conclure, mais je me vois dans l'incapacité même d'en définir une. C'est sans-doute tout bête... :oops:

Merci d'avance :mrgreen:

P.S. J'en fais peut-être un peu trop concernant la rédaction,n'hésitez pas m'en dire deux mots
Pypaut
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar OG » Mardi 13 Décembre 2016, 20:58

Bonsoir

Peut-être que l'argument de $z_1$ s'exprime en fonction de celui de $z_0$, etc...

Cordialement
O.G.
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar Pypaut » Mardi 13 Décembre 2016, 22:36

Euh...

Je crois que ce qui me pose problème depuis le début c'est le fait de dire que l'argument de $z_n$ est $arg(z_n)$.

C'est. Honteux.

Merci d'avoir malgré tout répondu à ma requête.

J'essaie avec ça alors ; avec les propriétés de l'argument je vais sans-doute arriver à quelque chose...
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar Pypaut » Mardi 13 Décembre 2016, 22:51

Rien de bien fructueux.

J'étudie donc la monotonie de cette nouvelle suite, en espérant tomber sur une suite constante ; mais je ne suis en fait pas tout à fait à l'aise, en effet je ne sais pas vraiment en quoi est-ce qu'une telle suite me serait utile : je comprends qu'il faut exclure la possibilité d'une suite "circulaire" (du point de vue de la représentation graphique)...

Jusqu'ici, ça paraît cohérent ?
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar balf » Mardi 13 Décembre 2016, 22:54

$z_{n+1}$ est un multiple de $z_n$ par un scalaire positifn par conséquent ils ont même argument — qui est donc celui de $z_n$.

Il ne reste qu'à étudier la suite $(r_n)=(\lvert z_n\rvert)$, définie par la relation de récurrence

$$r_0>0,\qquad r_{n+1}=\frac{2r_n}{1+r_n^2},$$

et on vérifie qu'elle est bornée, et croissante pour tout $n$ si $0<r_0<1$, croissante à partir du rang $1$ si $r_0>1$.

B. A.
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar Pypaut » Mercredi 14 Décembre 2016, 18:27

Merci à vous, je vois un peu mieux de quoi il s'agit !

Cependant :

balf a écrit:$z_{n+1}$ est un multiple de $z_n$ par un scalaire positifn par conséquent ils ont même argument


Par "scalaire" il est entendu "réel" ?

balf a écrit:Il ne reste qu'à étudier la suite $(r_n)=(\lvert z_n\rvert)$, définie par la relation de récurrence

$$r_0>0,\qquad r_{n+1}=\frac{2r_n}{1+r_n^2},$$

et on vérifie qu'elle est bornée, et croissante pour tout $n$ si $0<r_0<1$, croissante à partir du rang $1$ si $r_0>1$.


Donc $\mid z_n \mid$ tend vers $1$ ainsi que $arg(z_n)$ est constant $mod (2\pi)$ impliquent $z_n$ tend vers 1 ?
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Re: [MPSI] Etude suite complexe

Messagepar balf » Mercredi 14 Décembre 2016, 21:44

Puisque $z_n=\lvert z_n\rvert\,\mathrm e^{\arg z_n}$

Oui, scalaire positif veut dire réel positif dans ce contexte.

B. A.
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