Etude des valeurs propres

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Etude des valeurs propres

Messagepar celtic » Mardi 13 Novembre 2007, 22:18

Bonsoir à tous

Soit $A=$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 &  1 & 0 \end{pmatrix}$

Démontrer que A admet 3 valeurs propres en précisant le signe :?:


Je trouve $-\lambda^3+\lambda^2+6\lambda -8=0$

Il y a une racine evidente $\lambda=2$ mais je pense pas que c'est comme cele que je dois démonter :?:
Dernière édition par celtic le Mercredi 14 Novembre 2007, 21:14, édité 1 fois.
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar nirosis » Mardi 13 Novembre 2007, 22:55

Bah ca marche aussi :wink:
mais peut-être faut-il que tu regardes la trace et le déterminant car des matrices semblables conservent ces valeurs.

ps: c'est pas $8 \lambda$ à la fin mais $8$.
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar celtic » Mercredi 14 Novembre 2007, 21:20

Bonsoir à tous

$-\lambda^3+\lambda^2+6\lambda -8=0$

Je pense que le prof ne veux pas que je fasse tous les calculs mais qu'il faut démontrer autrement

Dans le cours il y a
A est diagonalisable si et seulement si pour chaque valeur propre , la dimension du sous espace propre
est égale à l' ordre de multiplicité de$\lambda$


Ici on a une sous ensemble d'espace propre $-\lambda^3$ et on a une matrice carrée d'ordre 3 ce qui veut dire que l'on a 3 valeurs propres

Ensuite pour le signe j'etudie le signe de la dérivée
$-3\lambda^2+2\lambda+6=0$ :?:
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar guiguiche » Mercredi 14 Novembre 2007, 22:00

Il faut donc que tu factorises ton polynôme de degré 3 : tu as trouvé une racine évidente, je ne vois pas où est le problème pour continuer la factorisation avec cela. Maintenant, ton prof a peut-être d'autres exigences que les miennes.
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar celtic » Mercredi 14 Novembre 2007, 22:14

Salut Guiguche c'est ce que j'ai fait mais je pensais qu'il pouvait avoir une autre méthode

:idea:
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar nirosis » Mercredi 14 Novembre 2007, 23:06

On dirait que dans l'énoncé on te dit pas de trouver explicitement ces vp mais seulement de montrer qu'il y en a 3 et de donner leur signe...

Si on suppose avant tout calcul qu'il y a trois vp distinctes.
Comme $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$ et $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 =-8$, ca donne déjà deux valeurs propres positives et deux négatives si je ne m'abuse.

sans calculer le polynome caracteristique c'est comme ça que j'essaierai de me débrouiller...
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar guiguiche » Mercredi 14 Novembre 2007, 23:10

nirosis a écrit:Si on suppose avant tout calcul qu'il y a trois vp distinctes.
Comme $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$ et $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 =-8$, ca donne déjà deux valeurs propres positives et deux négatives si je ne m'abuse.

Pourquoi 2 seraient-elles négatives ? J'ai raté un truc ?
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Re: Etude des valeurs propres

Messagepar nirosis » Jeudi 15 Novembre 2007, 08:39

Ah euh je voulais dire 2 positives et une négative sinon ca fait 4 valeurs propres :oops:
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