Espaces vectoriels

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Espaces vectoriels

Messagepar sup BCPST » Samedi 19 Novembre 2005, 21:59

Bonjour,

Je suis en sup BCPST et j'ai un devoir à faire sur les éspaces vectoriels et j'avoue que je trouve ce chapitre pas évident du tout se qui me pousse à vous demander un peu d'aide pour les premières questions histoire de me débloquer.

Alors, voici le début de l'énoncé:

On désigne par E l'ensemble des applications de R(l'ensemble des réels) dans R, deux fois dérivales sur R et par F le sous-ensemble de E des applications f telles que: f"-3f'+2f=0

On désigne par F° le sous-ensemble de F des applications f telles que:
f(0)=f'(0)=0

1- Montrer que E est un espace vectoriel réel. Montrer que f et f° sont des sous-espaces vectoriels de E.

2- Soit f un élément de F
Montrer qu'il existe un unique couple (a1,a2) de réels tel que f-a1f1-a2f2 appartienne à F°.


Merci beaucoup pour votre aide.
sup BCPST
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quelques présicions

Messagepar sup BCPST » Dimanche 20 Novembre 2005, 01:15

oups excusez moi j'ai oublier de préciser f1 et f2.
f1(x)=e^x
f2(x)=e^(2x)

Voilà, merci pour votre aide.
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Messagepar nirosis » Dimanche 20 Novembre 2005, 03:03

La 1) est vraiment une évidence.

Pour la 2), facile de voir que $f'(0)=f(0)$
et après pour voir que ca fait 0, il faut surement utiliser la propriété sur f...
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Messagepar sup BCPST » Dimanche 20 Novembre 2005, 10:16

bonjour,

Oui je sais bien que un espace vectoriel doit être commutatif, associatif, avoir un élément neutre et un symétrique mais j'arrive pas à le faire de façon rigoureuse, en fait j'ai du mal à manipuler les applications.

Merci pour la question 2.
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Messagepar nirosis » Dimanche 20 Novembre 2005, 12:36

Pour la 1, le seul truc à voir est que $(a_1 f_1) ° (a_2 f_2)$ est bien deux fois dérivable si $f_1$ et $f_2$ le sont. Ce qui est évident.
Les autres propriétés d'espace vectoriel sont "classiques'.
Il faut cependant bien choisir la relation interne (en général, c'est la loi de composition $°$, mais on pourrait essayer avec l'addition aussi). Le neutre est donc la fonction $x \rightarrow x$... (sinon c'est la fonction nulle si tu prends l'addition)
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Messagepar Ash'Ka » Dimanche 20 Novembre 2005, 16:34

Si on résume ce qu'est un espace vectorielle, on peut dire que c'est un ensemble E non vide muni d'une lci $+$ et d'une lce $.$$(E,+)$ est un groupe additif commutatif

Déja $0\in E$ donc $E \neq \varnothing$
$(E,+)$ est évidemment un groupe :
Soit $f \in E$ alors $-f \in E$ or $-f$ est l'opposé de $f$ donc tout élément de $E$ admet un opposé dans $E$
soit maintenant $g\in E$
$f$ et $g$ continue donc forcément, $f+g$ continue d'où la stabilité par $+$.
(la commutativité est évidente de même que la double dérivabilité)

Après, soit $\lambda \in \R$
$\lambda f$ est continue donc $\lambda f \in E$
Donc $(E,+,.)$ est un espace vectoriel
Dernière édition par Ash'Ka le Dimanche 20 Novembre 2005, 16:53, édité 2 fois.
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Messagepar Ash'Ka » Dimanche 20 Novembre 2005, 16:49

$F$ est un sous espace vectorielle de $E$ si et seulement si $F \subset E$ et $F$ est stable par toute combinaison linéaire.
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Messagepar sup BCPST » Dimanche 20 Novembre 2005, 17:00

merci pour vos réponses je vais travailler là dessus cette aprés midi.
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Messagepar sotwafits » Dimanche 20 Novembre 2005, 20:26

Ce type de sujet est hors-programme en BCPST 1

Mais si tu arrives à comprendre, tu prendras de l'avance pour l'année prochaine
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