Espaces normés

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Espaces normés

Messagepar paspythagore » Mardi 22 Octobre 2013, 15:20

Bonjour. Un passage de la fin de cette démonstration que je ne comprends pas.
définition
On appelle $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\K$ telles que la série de terme général $x(n)$ soit absolument convergente.
On appelle $l^2(\N;\K)$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\K$ telles que la série de terme général $|x(n)|^2$ soit absolument convergente.

^proposition
Les espaces $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ sont des espaces vectoriels et les applications :

$$||x||_1\stackrel{déf}{=}\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)|\text{ et }||x|_2\stackrel{déf}{=}\big(\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)||^2\big)^{1/2}$$


définissent des normes sur $l^1(\N;\K)$ et $l^2(\N;\K)$ respectivement.

démonstration : (inégalité triangulaire)
Pour tout entier $N$, on a :
$\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|\leq\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|\leq\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^\infty_{n=0}|y(n)|$
Pourquoi ne peut on pas l'écrire directement avec $\infty$ au lieu de $N$ ?

Ainsi donc on a $||x+y||_1\leq||x||_1+||y||_1$.

Pour l'espace $l^2(\N;\K)$, il suffit de remarquer que :

$$\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|^2\Big)^{1/2}\leq\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|^2\Big)^{1/2}+\Big(\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|^2\Big)^{1/2}$$


Pourquoi ?
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Re: Espaces normés

Messagepar OG » Mardi 22 Octobre 2013, 15:24

Bonjour

Parce qu'il faut montrer rigoureusement que la somme de deux éléments dans $\ell^1$ est dans $\ell^1$
(idem $\ell^2$), donc on passe par les sommes partielles.

O.G
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Re: Espaces normés

Messagepar Tonn83 » Mardi 22 Octobre 2013, 17:38

Re-bonjour,

Comme OG le signale, vous devez démontrer en premier lieu que les ensembles $\ell^1$ et $\ell^2$ sont des espaces vectoriels réels. Pour ce faire, vous démontrez que ce sont des sous-espaces vectoriels de $\R^{\N}$ (l'espace de toutes les suites réelles). Par la même occasion, vous pouvez démontrer les inégalités triangulaires souhaitées.
Pour rappel, une série de terme général $u_n$ converge absolument si et seulement les sommes partielles de la série de terme $|u_n|$ sont majorées. Dans ce cas, si $M$ est un majorant alors $\|u_\|_1\leq M$.
Notez que pour $\ell_1$, au lieu de passer par des majorations de sommes partielles, vous pouvez directement appliquer un théorème de comparaison sur les séries à termes positifs. Ce théorème fonctionnerait ici comme une boîte noire contenant les comparaisons que vous vous refusez de faire :mrgreen:
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Re: Espaces normés

Messagepar paspythagore » Mardi 22 Octobre 2013, 18:12

Désolé, je ne comprends pas.

$\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|\leq\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|\leq\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^\infty_{n=0}|y(n)|$ donc $x+y$ est dans $l_1$.

Pour $||x+y||_1\leq||x||_1+||y||_1$, où est le $\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)+y(n)|$ ?

Pour l'espace $l^2(\N;\K)$, il suffit de remarquer que :

$$\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|^2\Big)^{1/2}\leq\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|^2\Big)^{1/2}+\Big(\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|^2\Big)^{1/2}$$


Je ne comprends pas comment démontrer cette inégalité.

Tonn83 a écrit:Notez que pour $\ell_1$, au lieu de passer par des majorations de sommes partielles, vous pouvez directement appliquer un théorème de comparaison sur les séries à termes positifs. Ce théorème fonctionnerait ici comme une boîte noire contenant les comparaisons que vous vous refusez de faire :mrgreen:

Désolé, je suis intéressé par ce travail mais je ne vois pas.
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Re: Espaces normés

Messagepar balf » Mardi 22 Octobre 2013, 19:29

paspythagore a écrit:
$\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|\leq\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|\leq\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)|+\ds\sum^\infty_{n=0}|y(n)|$ donc $x+y$ est dans $l_1$.
Pour $||x+y||_1\leq||x||_1+||y||_1$, où est le $\ds\sum^\infty_{n=0}|x(n)+y(n)|$ ?

La dernière étape est implicite : $\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|$ est majorée, donc convergente (etsa limite vérifie l'inégalité voulue.
Pour l'espace $l^2(\N;\K)$, il suffit de remarquer que :

$$\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)+y((n)|^2\Big)^{1/2}\leq\Big(\ds\sum^N_{n=0}|x(n)|^2\Big)^{1/2}+\Big(\ds\sum^N_{n=0}|y(n)|^2\Big)^{1/2}$$


Je ne comprends pas comment démontrer cette inégalité.

Elle correspond au fait que sur R$^\mathsf{N}$, la norme euclidienne $\lVert$(xₙ)$\rVert$₂ vérifie bien l'inégalité triangulaire. Elle revient à démontrer que (A² + B²)$^\mathsf{1/2}$ $\leqslant$ |A| + |B|, et il suffit d'élever au carré.

B.A.
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Re: Espaces normés

Messagepar paspythagore » Mardi 22 Octobre 2013, 19:39

Merci.
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