espace vectoriel

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espace vectoriel

Messagepar fmb » Samedi 17 Août 2013, 12:47

Bonjour, j'ai un problème avec mon exercice de maths :
On pose F=((x,y,z,t E R4 | x+2y-3z=t)

Montrer que F est un sous espace vectoriel et en donner une base.
J'ai montré que F est un sous espace vectoriel mais je ne sais pas comment faire pour en trouver une base....

Cordialement..
fmb
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Re: espace vectoriel

Messagepar kojak » Samedi 17 Août 2013, 13:40

Bonjour,

Tu prends un vecteur $u(x,y,z,t)\in F$ et tu l'exprimes comme combinaison linéaire de plusieurs vecteurs à l'aide de la relation $t=x+2y-3z$ , ce qui te donnera un Vect de F, cad une famille génératrice. Il suffira ensuite de montrer qu'ils forment une famille libre.
pas d'aide par MP
kojak
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Re: espace vectoriel

Messagepar cpo » Samedi 17 Août 2013, 15:57

Bonjour,

Tu peux aussi commencer par trouver trois vecteurs dans F qui soient linéairement indépendants. Par exemple, en les cherchant de la forme (1,0,0,?), (0,1,0,?) et (0,0,1,?); à toi de trouver leur quatrième coordonnée.

Il n’y a plus alors qu’à montrer que ces trois vecteurs forment une famille génératrice de F : cela se fait en considérant un vecteur de F et en montrant comment il s’exprime comme combinaison linéaire des trois vecteurs trouvés ci-dessus.
cpo
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Re: espace vectoriel

Messagepar Tonn83 » Jeudi 31 Octobre 2013, 13:34

Notez que $F$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $(x,y,z,t)\mapsto x+2y-3z-t$. Donc $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension $3$ de $\R^4$ : en particulier, toute famille libre de 3 vecteur de $F$ est une base de $F$. La première indication donnée ci-dessus par CPO donne justement une famille libre de trois vecteurs (il faut toutefois justifier qu'elle est libre). Donc immédiatement cette famille est une base de $F$ - il n'est pas nécessaire de démontrer que la famille est génératrice ! :wink:
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