Equation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Equation

Messagepar matém » Mercredi 02 Novembre 2011, 18:30

Salut à tous,

je cherche à résoudre l'équation $y= f(y'(x))$ sans utiliser la notion de formes différentielles.
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Re: équation

Messagepar guiguiche » Jeudi 03 Novembre 2011, 09:03

????
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: équation

Messagepar matém » Jeudi 03 Novembre 2011, 10:39

Bonjour,

je reformule ma quéstion: je cherche à résoudre l'équation $y= f(\frac{dy}{dx})$
voici la solution que j'ai trouvé dans le Vuibert: posons $\frac{dy}{dx}= p,$ ou $dy= p dx.$ En différentiant la relation $y= f(p),$ nous avons $dy= f'(p) dp,$ et en égalant les deux valeurs de $dy,$
$p dx= f'(p) dp, dx= \frac{f'(p)}{p} dp$

L'intégrale générale est définie par les équations

$$x= \int \frac{f'(p)}{p} dp, y= f(p)$$



Je ne comprend pas pourquoi ils cherchent $x$ et $y$ et comment la résoudre mathématiquement svp pour trouver $y$ car ca doit etre lui qu'on doit trouver et pas x non?
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Re: équation

Messagepar kojak » Jeudi 03 Novembre 2011, 10:44

Bonjour,

Pourrais tu mettre un exemple, au lieu de parler en général ?

Sinon, c'est bien comme ceci qu'il est possible de faire, et donc on détermine les courbes intégrales sous forme paramétrique
pas d'aide par MP
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Re: équation

Messagepar matém » Jeudi 03 Novembre 2011, 10:51

C'est donné de manière générale. par exemple l'équation $y= y'$ avec f est la fonction identité.

Pour la manière de faire, tout d'abord dans cette solution, ils utilisent les formes différentielles, ils multiplient et divisent par dx et dy or que ce sont des méthodes de physiciens, on ne fait pas ca en maths.

De plus, c'est $y$ qu'on doit trouver, pourquoi,ils trouvent $x$ aussi? C'est ca que je n'arrive pas à comprendre, si vous pouviez m'en dire un peu plus.
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Re: équation

Messagepar kojak » Jeudi 03 Novembre 2011, 10:55

Pour ceci :

matém a écrit: par exemple l'équation $y= y'$


pas besoin de cette méthode : c'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant, donc on ne va pas sortir artillerie lourde pour écraser une misérable mouche :mrgreen:

La résolution de cette équa diff est immédiate.

Par conséquent, ton exemple est très mal choisi :wink:
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Re: équation

Messagepar matém » Jeudi 03 Novembre 2011, 10:58

:oops: Oui, tu as raison.

bon alors

$$y= \frac{y'^2}{1+ y'^2}$$



comment on fait pour la résoudre svp?
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Re: équation

Messagepar kojak » Jeudi 03 Novembre 2011, 11:06

Comme tu l'as indiqué précédemment en posant $y'=t$ moi je prends $t$ comme le temps au lieu de $p$.

donc tu as immédiatement $y=\dfrac{t^2}{1+t^2}$ et ensuite $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dx}{dy}\times\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{y'}\tims\dfrac{dy}{dt}$.

Tu as $y'=t$ et comme tu connais $y$ en fonction de $t$, tu peux avoir $\dfrac{dy}{dt}$ et il en te restera plus qu'à intégrer de façon à avoir $x$ en fonction de $t$.
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Re: équation

Messagepar matém » Jeudi 03 Novembre 2011, 11:12

Ce que je ne comprend pas c'est:

question 1: qui est $x?$ c'est une variable alors pourquoi on l'a cherche? et surtout pourquoi on écrit $\frac{dx}{dt}= \frac{dx}{dy}.\frac{dy}{dt}= \frac{1}{y'}. \frac{dy}{dt?$ $x$ c'est à dire que la dérivée de x par rapport à t est égale à tous ca... mais x dépend de $t?$
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Re: équation

Messagepar kojak » Jeudi 03 Novembre 2011, 17:30

matém a écrit:question 1: qui est $x?$ c'est une variable alors pourquoi on l'a cherche?


Oui, c'est une variable mais qui va dépendre du temps $t$, donc ce n'est plus réellement une variable mais une fonction.

matém a écrit:et surtout pourquoi on écrit $\frac{dx}{dt}= \frac{dx}{dy}.\frac{dy}{dt}= \frac{1}{y'}. \frac{dy}{dt?$ $x$ c'est à dire que la dérivée de x par rapport à t est égale à tous ça...
Oui, car il faut bien déterminer cette fonction $x$

matém a écrit:mais x dépend de $t?$
ben oui : c’est écrit plus haut.

Pour plus d'info, voir ici
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Re: Equation

Messagepar matém » Vendredi 04 Novembre 2011, 13:34

Merci.
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Re: Equation

Messagepar kojak » Vendredi 04 Novembre 2011, 14:01

Et alors, tu as trouvé quoi comme solution ?
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Re: Equation

Messagepar matém » Mardi 15 Novembre 2011, 10:24

Bonjour,

pardon, je pensais que le problème était réglé. Excuses je n'ai pas l'habitude...

Bon, voici le résultat que j'ai trouvé après avoir suivi vos conseils

$$x= \int \frac{f'(t)}{t} \frac{dt}{dx}, y(x)= f(t)$$



c'est en forme de courbe paramétrée.

Merci de votre aide.
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