Equation du plan tangent

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Equation du plan tangent

Messagepar paspythagore » Samedi 14 Avril 2012, 07:58

Exercice. Soit $S$ la surface paramétrée dans $\R^3$ définie pour $(u , v) \in \R^2$ par

$$\left \{ \begin{array}{c ccccc c} x&=&3v^2 +2u^2 \\ y&=&2 \left(u^2 +1 \right) \\ z&=& -v^2 +3v +2u} \end{array} \right..$$


et $A = M(3 , -2$ le point de paramètres $(3 , -2)$. Donner une équation du plan tangent à $S$ en $A$.


$\varphi_u(M)=\begin{pmatrix} 4u&=&12 \\ &&12\\&&2 \end{pmatrix} \wedge\varphi_v(M)=\begin{pmatrix} 6v&=&-12 \\ &&0\\-2v+3&=&7 \end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix} 84 \\ -24-84\\144 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 84 \\ -108\\144 \end{pmatrix}=12\begin{pmatrix} 7 \\ -9\\12 \end{pmatrix}$

Pour calculer l'équation du plan tangent, on choisit un point $M'(x,y)$ pour former le vecteur $\overrightarrow{MM'}=\begin{pmatrix} x-3 \\ y+2\\z \end{pmatrix}$

L'équation cherché est donné pour le produit scalaire suivant lorsqu'il est égal à $0$ :
$\varphi_u(M)\wedge\varphi_v(M)\right)\cdot\overrightarrow{MM'}$

$12\begin{pmatrix} 7 \\ -9\\12 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-3 \\ y+2\\z \end{pmatrix}=12(7x-9y+12z-21-18)$

$=12(7x-9y+12z-39)=0$

Or le serveur d'exercices avec lequel je travaille http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=XJ49D5FAC8.1&+lang=fr&+module=U2%2Fanalysis%2Fdocstokes.fr&+cmd=reply&+job=read&+doc=1&+block=methodetangent me donne comme solution :

$$12(7x-9y+12z+18)=0$$



J'ai évidemment fait d'autres exercices niveau 1 sur ce serveur, j'ai toujours un décalage par rapport à la solution.

Comme je m'aidais des exercices pour comprendre le cours, il y a donc quelque chose que je n'ai pas compris.
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(WIMS) à wims.unice.fr
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paspythagore
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Re: Equation du plan tangent

Messagepar kojak » Samedi 14 Avril 2012, 12:48

bonjour,

Il y a une erreur dans ton point $A$. $u=3$ et $v=2$ sont les valeurs des paramètres $u$ et $v$ et non pas ses coordonnées qui sont $A(30,20,-4)$.

Tes 2 vecteurs $\phi_u(M)$ et $\phi_v(M)$ sont corrects. D'ailleurs le premier tu peux en prendre un plus simple (colinéaire) après simplification par $2$ : $ (6,6,1)$
pas d'aide par MP
kojak
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Re: Equation du plan tangent

Messagepar paspythagore » Samedi 14 Avril 2012, 17:33

Nickel, merci.
Ca c'est compris.
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