Equation differentielle ...

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Equation differentielle ...

Messagepar jobherzt » Jeudi 29 Juin 2006, 20:17

Bonjour, je peine un peu pour aborder ce DM :
http://www.math.uni-heidelberg.de/studi ... -III-9.pdf

j'ai deja fait de ca mais ca remonte a loin ...

meme le premier qui a l'air simple, je n'arrives pas a partir, je trouve que l'enonce n'est pas clair.. si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce, je pense que tous les exos fonctionent pareil, donc un point de depart me suffirait.. c'est rageant car ca me semble a la lmite de l'evident, mais je n'arrives pas a formaliser..

merci !!
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Messagepar guiguiche » Jeudi 29 Juin 2006, 22:04

Je n'ai pas compris le premier exercice (trop loin pour moi). Par contre le deuxième est simple à vue de nez : on multiplie par exp(A) où A est une primitive de a.
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Messagepar jobherzt » Jeudi 29 Juin 2006, 22:13

merci bien, en fait le premier n'est pas si compliqué qu'il en a l'air : f est une application lineaire, donc on a une equa diff autonome.. cad que $x_1$ et $x_2$ sont solution de :

$$x'(t)=f(x(t))$$


avec une condition initiale..

le probleme c'est que j'ai du mal a me depatouiller.. je trouve que l'enonce est un peu lapidaire, car pour que ca marche, il faut supposer que la condition initiale n'est pas posé au meme point, sinon ca n'a pas d'interet.. mais a priori, pour que ca marche, il faut supposer qu'il existe un $\epsilon_0$, tel que on aie un $t_0$ et :

$$x_1(0)=x_2(t_0)=\epsilon_0$$



ce qui semble confirmer par ca :
http://www.les-mathematiques.net/a/a/k/node9.php3

ce qui n'a rien d'evident a la lecture de l'enonce.. mais ce qui simplifierais grandement les choses ! si ca n'est pas le cas je ne sais pas quoi faire..

donc voila, je ne sais pas trop de quel niveau de generalite je dois partir..
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Messagepar jobherzt » Vendredi 30 Juin 2006, 10:28

aaarg meme pour le 2 je pedalE... si quelqu'un pouvait m'aiguiller.. ca a vraiment du mal a revenir !
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Messagepar guiguiche » Vendredi 30 Juin 2006, 16:39

Je reprend mon idée pour le 2 :

$$\varphi'\exp(A)-a\exp(A)\varphi=0$$


Comme $\exp(A)$ ne s'annule pas sur R :

$$\displaystyle{\frac{\varphi'\exp(A)-a\exp(A)\varphi}{\exp(A)^2}=0}$$


On reconnaît une dérivée usuelle :

$$\displaystyle{\left(\frac{\varphi}{\exp(A)}\right)'=0}$$


Je te laisse conclure.
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Messagepar la main gauche » Lundi 03 Juillet 2006, 12:19

Une autre méthode plus "à la main": on considère l'ensemble

$$ I = \{ s \in [0,b)\;\mid\; \forall t \in [0, s] \phi(t) \ge 0 \}$$


qui est un sous-intervalle de $[0,b)$. On a $0 \in I$, et la continuité de $a\phi=\phi'$ permet de montrer que si cette inégalité a lieu en $x_0$ elle reste vraie un peu à droite de $x_0$, il s'agit d'utiliser le TAF en minorant $\phi'(x_0+h) \ge \phi'(x_0) - \epsilon > 0$ pour h assez petit (comme l'équa diff est linéaire, ses solutions maximales sont globales). Avec ça en main, on montre que $\sup I = b$.

Ce genre de méthode fonctionne assez bien; mais la solution en exponentielle est bonne aussi, ce serait bête de se passer de la description assez précise des solutions de EDL qu'on a.

Je parierai qu'on peut aussi s'en sortir d'un coup de Gronwall d'un seul.

Lecture recommandée sur les EDL: Calcul Infintésimal, qui y consacre un très bon chapitre.
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Messagepar jobherzt » Lundi 03 Juillet 2006, 12:22

merci a tous !
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