Equation différentielle

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Equation différentielle

Messagepar washboard » Mardi 27 Février 2007, 16:58

bonjour,

comment peut-on résoudre :

$$xz'' + (x+1)z'=0$$



merci
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Messagepar Arnaud » Mardi 27 Février 2007, 17:02

Pose $y=z'$ et tu te ramènes à une équation du premier ordre.
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Messagepar kojak » Mardi 27 Février 2007, 17:21

Le seul problème quand tu fais ceci dans cette équation, c'est que une primitive de la fonction $y$ que tu obtiens ne s'exprime pas avec les fonctions "classiques". : c'est l'exponentielle intégral...
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Messagepar washboard » Mardi 27 Février 2007, 17:23

oui comme x est diierent de 0
$y'(x)+ \frac {x+1} {x}y(x)=0$

solutions de la forme $y(x)=Aexp^{ln(x)+x}$
comment repasser à mes z de départ ???
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Messagepar kojak » Mardi 27 Février 2007, 17:28

washboard a écrit:solutions de la forme $y(x)=A e^{ln(x)+x}$


Il n'y aurait pas un signe $-$ dans l'exponentielle ? et il faudrait peut être simplifier tout ceci...
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Messagepar washboard » Mardi 27 Février 2007, 17:43

$y(x)=Ae^{-ln(\abs x)-x }$


comme on doit résoudre sur $]0,+\infty[$
on trouve $y(x)=A \frac {e^{-x}}{x}$ avec A constante réelle
voilà qui doit être beauccoup mieux
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Messagepar washboard » Mardi 27 Février 2007, 17:47

pour la suite on me dit de me servir de fct usuelles et de la fct définie sur $]0,\infty[$
par $f(x)=\int_{1}^{x} \frac {e^{-t}}{t} dt$.
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Messagepar kojak » Mardi 27 Février 2007, 17:58

Ben correct, donc $z(x)=Af(x)+B$ avec $A$ et $b$ constantes réelles
PS : $f$ est la fonction exponentielle intégral... au signe près...
Dernière édition par kojak le Mardi 27 Février 2007, 18:07, édité 1 fois.
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Messagepar Arnaud » Mardi 27 Février 2007, 18:01

kojak a écrit:Le seul problème quand tu fais ceci dans cette équation, c'est que une primitive de la fonction $y$ que tu obtiens ne s'exprime pas avec les fonctions "classiques". : c'est l'exponentielle intégral...


Il y a une autre méthode ?
Parce que je n'ai rien vu ( à part série entière... )
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Messagepar kojak » Mardi 27 Février 2007, 18:08

Arnaud a écrit:Il y a une autre méthode ?
Parce que je n'ai rien vu ( à part série entière... )

Ben ici, j'crois pas car l'énoncé lui donne la fonction $f$...
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Messagepar Arnaud » Mardi 27 Février 2007, 18:17

Ha oui, ok, j'avais pas vu, mais tu ne réponds pas à ma question ;)
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