Equation différentielle

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Equation différentielle

Messagepar RoMaIn » Mercredi 15 Novembre 2006, 18:27

Salut,
On commence les équa diff, on a qq exemples en cour, mais j'aimerai que vous me précisiez qqc!
Soit (E) : $y'-2y=\sin x = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$
Une solution sans second membre serait de la forme $\lambda e^{2x}$.
On cherche maintenant une solution particulière de $y'-2y=\frac{1}{2i}e^{ix}$ (E')
Soit $y(x)=\lambda e^{ix}$ solution de (E')
$y(x)$ est solution ssi, $i\lambda e^{ix}-2\lambda e^{ix}=\frac{1}{2i}e^{ix}$
c'est à dire $\lambda = \frac{1}{2}.\frac{-1+2i}{5}$
Donc $y(x)=\frac{1}{2}.\frac{-1+2i}{5}.e^{ix}$ est une solution particulière de (E')
On déduit une solution de (E), $f(x)=y+\bar{y}=2Re(y)=-\frac{1}{5} \cos x - \frac{2}{5} \sin x$

Ma question porte sur $f(x)$. Est ce que $f(x)$ est la solution de (E) ou alors es ce juste une solution particulière! (dans ce cas, un solution de (E) serait: $y=\lambda e^{2x}+f$ )

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Messagepar Arnaud » Mercredi 15 Novembre 2006, 18:36

Il y a une infinité de solutions à l'équation, car pour tout réel $\lambda$, $\lambda e^{2x}$ est solution de $y'-2y=0$, donc ta fonction $f$ est une solution particulière ( j'ai pas vérifié les calculs ).
Arnaud
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Messagepar RoMaIn » Mercredi 15 Novembre 2006, 19:52

ok donc si on me demande une solution particulière de (E) de répondrais:
$f(x)=-\frac{1}{5} \cos x - \frac{2}{5} \sin x$
et si on me demande une solution générale de (E) je reponds
$y=\lambda e^{2x}+f$

c'est ca?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 15 Novembre 2006, 19:55

Oui, il me semble que c'est ok, calculs à vérifier, mais c'est pas grand chose.
Arnaud

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Arnaud
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