Equation de degre 3

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Equation de degre 3

Messagepar Djorgeo » Jeudi 13 Juin 2013, 21:32

Bonjour,

Considérant l'équation $(E)~:~y^3+py+q=0$ avec $p$ et $q$ réels.
Voici la question qui me pose problème :
Déterminer un changement de variable du type $y=\lambda z$ de manière à ce que l'équation $(E)$ se ramène à l'équation $(E')$ : $4z^3-3z=\alpha$ avec $|\alpha|\leqslant 1$.
J'ai évidement remplacer $y$ par $\lambda z$ dans $(E)$, mais l'identification ne me donne rien.

Merci de votre aide.
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Re: Equation de degre 3

Messagepar balf » Jeudi 13 Juin 2013, 22:10

Ce n'est tout simplement pas possible en général, sauf si p et q vérifient des relations particulières : l'équivalence de (E) et (E') n'est pas l'identité des coefficients, mais leur proportionnalité.
On commence par utiliser la proportionnalité des coefficients du membre de gauche, ce qui permet de trouver les valeurs possibles pour λ, puis on fait la même chose avec les termes constants, mais la condition sur |α| impose une condition sur p et q qui fait intervenir le discriminant de l'équation.

B.A.
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Re: Equation de degre 3

Messagepar Tonn83 » Samedi 15 Juin 2013, 09:24

C'est possible quand $p\neq 0$ mais sans imposer de conditions sur le nombre complexe $\alpha$. :wink:
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Re: Equation de degre 3

Messagepar Djorgeo » Dimanche 16 Juin 2013, 13:56

Bonjour et merci pour vos réponses ;

Je dois m'y prendre comme un pied, voici où j'en suis :
En utilisant le chgt de variable, $y=\lambda z$,
$(E)~:~y^3+py+q=0$ devient $\lambda^3z^3+\lambda p z +q=0$
Si l'on veut que $(E) $ se ramène à $(E')$ il faut que $\lambda^3=4$ et $\lambda=-\dfrac{3}{p}$.
Effectivement, le discriminant de l'équation ici supposé négatif ou nul, est $\delta=\dfrac{4p^3}{27}+q^2$ et donc $-\dfrac{27}{p^3}=\dfrac{4}{q^2-\delta}$ et ainsi $\lambda^3=\dfrac{4}{q^2-\delta}$.

Et après ...
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Re: Equation de degre 3

Messagepar Tonn83 » Dimanche 16 Juin 2013, 17:10

Djorgeo a écrit:$(E)~:~y^3+py+q=0$ devient $\lambda^3z^3+\lambda p z +q=0$
Si l'on veut que $(E) $ se ramène à $(E')$ il faut que $\lambda^3=4$ et $\lambda=-\dfrac{3}{p}$.

Pas forcément. Pour tout nombre complexe non nul $\alpha$ et pour toute fonction $f:\C\to\C$, les équations $f(z)$ et $\alpha f(z)=0$ sont équivalentes :D
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