[Résolu][L2] Équation avec limite et équivalent

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[Résolu][L2] Équation avec limite et équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 18:45

Bonjour,

J'ai un problème pour un DM de maths (à rendre mardi 17) sur lequel je travaille depuis quelques jours. J'ai cherché pendant quelques heures avec des camarades mais sans succès.

Voici l'énoncé (exercice complet) :
Déterminer $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{R}$ tels que

$$\ds\lim _{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^x}{\sin x - x^2}+\frac{\alpha}{x}+\beta\right) = 0$$

puis un équivalent (on pourra utiliser un développement limité à un ordre supérieur).


Nous avons mis l'expression au même dénominateur mais sans succès. J'ai trouvé « graphiquement » $\alpha=1$ et $\beta=-2$.

Avez-vous quelques pistes ? Merci d'avance.
Dernière édition par TD le Mercredi 10 Novembre 2010, 22:27, édité 1 fois.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Publicité

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar evariste_G » Mercredi 10 Novembre 2010, 18:58

Bonjour.
Peut-être faudrait-il considérer un DL en 0 de $e^x$ et $\sin x$. Non ?
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1401
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 19:11

C'est ce qu'on a fait mais sans succès. J'avais trouvé la relation $\beta=-2\alpha$ mais ça ne fonctionne pas.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar evariste_G » Mercredi 10 Novembre 2010, 19:15

A prendre avec précautions : (je n'ai plus toute ma tête :D )

$e^x \sim 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3^}{3!}$ et $\sin x \sim x - \frac{x^3^}{3!}$

Donc $\dfrac{e^x}{\sin x - x^2^} \sim\dfrac{1}{x}$ (sauf erreur de ma part ... mais c'est là que j'ai un doute !) d'où ... ?
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1401
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar sam_93 » Mercredi 10 Novembre 2010, 19:44

Bonsoir,

Attention!!! nous n'avons pas le droit d'ajouter ou de soustraire des équivalents!

Ce que tu peux en revanche faire c'est écrire que $sinx \underset {0} {=} x+ o(x)$ et donc que $sinx-x^2 \underset {0} {=} x-x^2+o(x)$ et là tu peux écrire que:

$ sinx-x^2 \underset {0} {\approx} x- x^2$

à toi de jouer maintenant(sauf erreur de ma part :( )
sam_93
Hecto-utilisateur
 
Messages: 99
Inscription: Mercredi 20 Octobre 2010, 18:59
Localisation: Quelque part en France^^
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 19:44

evariste_G a écrit:A prendre avec précautions : (je n'ai plus toute ma tête :D )

$e^x \sim 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3^}{3!}$ et $\sin x \sim x - \frac{x^3^}{3!}$

Donc $\dfrac{e^x}{\sin x - x^2^} \sim\dfrac{1}{x}$ (sauf erreur de ma part ... mais c'est là que j'ai un doute !) d'où ... ?


En faisant ça, on a $\frac{1+\alpha+x\beta}{x}\rightarrow\pm\infty$ quand $x\rightarrow 0$.

sam_93 a écrit:Bonsoir,

Attention!!! nous n'avons pas le droit d'ajouter ou de soustraire des équivalents!

Ce que tu peux en revanche faire c'est écrire que $sinx \underset {0} {=} x+ o(x)$ et donc que $sinx-x^2 \underset {0} {=} x-x^2+o(x)$ et là tu peux écrire que:

$ sinx-x^2 \underset {0} {\approx} x- x^2$

à toi de jouer maintenant(sauf erreur de ma part :( )


Déjà tenté plusieurs fois...

Enfin, j'ai peut-être fait des erreurs.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar girdav » Mercredi 10 Novembre 2010, 20:06

Bonjour,
on peut mettre au même dénominateur les deux premiers termes et chercher dans un premier temps une condition sur $\alpha$ pour que le rapport $\dfrac{xe^x +\alpha \sin x -\alpha x^2}{x(\sin x-x^2)}$ admette une limite finie quand $x$ tend vers $0$. On voit que le dénominateur tend vers $0$ comme du $x^2$, donc il faut que le numérateur en fasse autant.
Dernière édition par girdav le Mercredi 10 Novembre 2010, 21:27, édité 1 fois.
girdav
Méga-utilisateur
 
Messages: 380
Inscription: Jeudi 04 Juin 2009, 19:32
Localisation: Rouen
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar kojak » Mercredi 10 Novembre 2010, 20:13

bonjour,

Il faut faire ceci à l'aide des développements limités usuels d'ordre 2 en $0$ : celui de $e^x$, celui de $\sin x - x^2$, enfin obtenir un développement en $\dfrac{1}{x}$ de $\dfrac{1}{\sin x - x^2}$ grâce à celui de $\dfrac{1}{1-X}$, faire le produit, etc.

TD a écrit:J'ai trouvé « graphiquement » $\alpha=1$ et $\beta=-2$.

Xcas ne me donne pas tout à fait ça pour $\alpha$
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10383
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:11

girdav a écrit:Bonjour,
on peut mettre au même dénominateur les deux premier terme et chercher dans un premier temps une condition sur $\alpha$ pour que le rapport $\dfrac{xe^x +\alpha \sin x -\alpha x^2}{x(\sin x-x^2)}$ admette une limite finie quand $x$ tend vers $0$. On voit que le dénominateur tend vers $0$ comme du $x^2$, donc il faut que le numérateur en fasse autant.


Si je divise en haut et en bas pas $x$, j'ai $\frac{e^x+\alpha\frac{\sin{x}}{x}-\alpha x}{\frac{\sin x}{x}-x}$ ce qui tends en zéro vers $1+\alpha$, d'où $1+\alpha+\beta=0\iff\alpha = -\beta-1$.

kojak : avec Xcas, j'obtiens $\frac1x+2+\frac83x+\frac{19}{6}x^2$, soit un infini en zéro.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar girdav » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:15

TD a écrit:
Si je divise en haut et en bas pas $x$, j'ai $\frac{e^x+\alpha\frac{\sin{x}}{x}-\alpha x}{\frac{\sin x}{x}-x}$ ce qui tends en zéro vers $1+\alpha$, d'où $1+\alpha+\beta=0\iff\alpha = -\beta-1$.

Attention, si tu divises par $x$ en haut et en bas tu devrais trouver $\sin x-x^2$ au dénominateur.
girdav
Méga-utilisateur
 
Messages: 380
Inscription: Jeudi 04 Juin 2009, 19:32
Localisation: Rouen
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:20

Exact. Mais je ne sais plus quoi faire alors.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar girdav » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:27

On a $xe^x = x+x^2+\frac{x^3}2+o(x^3)$; $\alpha \sin x =\alpha x-\alpha \frac{x^3}6+o(x^3)$ donc $xe^x +\alpha \sin x-\alpha x^2 = (1+\alpha)x+(1-\alpha)x^2 +x^3\left(\frac 12 -\frac{\alpha}6\right)+o(x^3)$ et $x(\sin x-x^2) =x(x-\frac{x^3}6 +o(x^3)-x^2) = x^2-x^3-\frac{x^4}6+o(x^4)$.
On voit donc que l'on a un problème si $1+\alpha\neq 0$ (sinon on divise par $x en haut et en bas et on voit que le numérateur a une limite non nulle alors que le dénominateur a une limite nulle).
girdav
Méga-utilisateur
 
Messages: 380
Inscription: Jeudi 04 Juin 2009, 19:32
Localisation: Rouen
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:49

Alors on a forcément $1+\alpha=0\iff\alpha=-1$ ? Il resterait alors à déterminer $\beta$.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar girdav » Mercredi 10 Novembre 2010, 21:55

Voilà.
girdav
Méga-utilisateur
 
Messages: 380
Inscription: Jeudi 04 Juin 2009, 19:32
Localisation: Rouen
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 22:09

Je (Xcas) fais un DL à l'ordre 2 de l'expression : $2+\frac83x+\frac{19}6x^2$, on a donc $2+\frac83x+\frac{19}6x^2+\beta=0$ quand $x\rightarrow 0$ soit $\beta=-2$. C'est bon ?
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar girdav » Mercredi 10 Novembre 2010, 22:14

Oui, là on a même pas besoin de Xcas si ce n'est pour vérifier. On peut voir avec $\alpha =-1$ après division par $x^2$ que le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$.
Il te reste donc six jours pour mettre tout cela en ordre.
girdav
Méga-utilisateur
 
Messages: 380
Inscription: Jeudi 04 Juin 2009, 19:32
Localisation: Rouen
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar TD » Mercredi 10 Novembre 2010, 22:18

Merci beaucoup. Donc mon équivalent sera $\frac83x+\frac{19}6x^2$.

Il me reste encore le dernier exercice à terminer (le premier est fini depuis le premier jour). Je posterai un nouveau sujet si j'en ai besoin.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Re: [L2 — résolu] Équation avec limite + équivalent

Messagepar PRND » Jeudi 11 Novembre 2010, 10:41

evariste_G a écrit:$e^x \sim 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3^}{3!}$ et $\sin x \sim x - \frac{x^3^}{3!}$

Il ne faut jamais écrire ça, c'est une mauvaise utilisation des équivalents
Ce n'est pas faux, mais on pourrait tout aussi bien écrire $e^x\sim 1+2x-x^2$
PRND
Kilo-utilisateur
 
Messages: 126
Inscription: Dimanche 07 Mars 2010, 16:27
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [L2] Équation avec limite + équivalent

Messagepar kojak » Jeudi 11 Novembre 2010, 12:17

bonjour,

TD a écrit: Donc mon équivalent sera $\frac83x+\frac{19}6x^2$.

Non, ceci est faux !

ainsi que ceci :
PRND a écrit:
evariste_G a écrit:$e^x \sim 1+x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3^}{3!}$ et $\sin x \sim x - \frac{x^3^}{3!}$

Il ne faut jamais écrire ça, c'est une mauvaise utilisation des équivalents
Ce n'est pas faux, mais on pourrait tout aussi bien écrire $e^x\sim 1+2x-x^2$


PS : il faut se méfier comme de la peste des équivalents : il vaut nettement mieux passer par les développements limités : ça évite bien des âneries monstrueuses :wink:
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10383
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: [Résolu][L2] Équation avec limite et équivalent

Messagepar TD » Jeudi 11 Novembre 2010, 12:26

D'après les solution de guirdav, il n'y a pas d'équivalents, non ? Et pour mon équivalent, j'ai juste fait un DL.

Je suis de toute façon obligé de trouver un équivalent car c'est la consigne.
TD
Hecto-utilisateur
 
Messages: 78
Inscription: Vendredi 24 Septembre 2010, 20:42
Localisation: Poitiers
Statut actuel: Post-bac | Licence

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 9 invités