Equa diff

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Equa diff

Messagepar jobherzt » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:12

bonjour tout le monde !!

je seche sur un DM d'equa diff, c'est vraiment pas mon fort..

le sujet se trouve la, http://www.math.uni-heidelberg.de/studi ... III-12.pdf

avec 3 equa diff lineaire d'ordre 2 que je n'arrive pas bien a resoudre.

accessoirement, je dois aussi montrer que les solutions d'une equation lineaire d'ordre n forment un espace vectoriel de dimension n. il est trivial de montrer que toute combinaison lineaire de solutions est encore solution, mais montrer que la dimension est exactement n, je n'y arrives pas...

merci a tous !
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Re: equa diff

Messagepar guiguiche » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:17

jobherzt a écrit:accessoirement, je dois aussi montrer que les solutions d'une equation lineaire d'ordre n forment un espace vectoriel de dimension n. il est trivial de montrer que toute combinaison lineaire de solutions est encore solution, mais montrer que la dimension est exactement n, je n'y arrives pas...

Essaie avec l'application:

$$E\to\mathbb{R}^n,\;f\mapsto(f(x_0),f'(x_0),\dots,f^{(n-1)}(x_0))$$


$E$ est l'ensemble des solutions de l'équation différentielle en question.

Sinon, concernant les résolutions, tu dois bien avoir une méthode dans ton cours (équation caractéristique, méthode de la variation de la constante).
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Messagepar jobherzt » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:21

ouaip, c'est bien ce qu'il me semblait, en fait j'en suis deja a avoir transformé ca en systeme de n equa diff. mais j'ai l'impression qu'il faudrait que j'exhibe une famille de n solutions lineairement independante, alors que ce resultat doit pouvoir se demontrer sans resoudre litteralement.
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Messagepar jobherzt » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:22

et non, j'ai pas vraiment de methode.. c'est pas un tres tres bon cours :P et puis je suis erasmus, tout ca, ca complique.. ca me fait raler, des equa diff, j'en avais deja fait en licence, et rien ne revient.. (en meme temps,j'etais deja pas doue... c'est VRAIMENT pas mon truc :cry: )

mais l'equation caracteristique, j'ai retrouvé ca sur wikipedia, effectivement...
Dernière édition par jobherzt le Jeudi 20 Juillet 2006, 19:23, édité 1 fois.
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Messagepar guiguiche » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:23

Il suffit de montrer que c'est un isomorphisme d'espaces vectoriel. Pour une base de $E$, on prend, par exemple, l'image réciproque de la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
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Messagepar guiguiche » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:25

jobherzt a écrit:et non, j'ai pas vraiment de methode.. c'est pas un tres tres bon cours :P et puis je suis erasmus, tout ca, ca complique.. ca me fait raler, des equa diff, j'en avais deja fait en licence, et rien ne revient.. (en meme temps,j'etais deja pas doue... c'est VRAIMENT pas mon truc :cry: )

mais l'equation caracteristique, j'ai retrouvé ca sur wikipedia, effectivement...

Il suffit de résoudre cette équation polynomiale (attention aux racines multiples). Cela fournit directement une base de l'ensemble des solutions.
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Messagepar jobherzt » Jeudi 20 Juillet 2006, 19:39

mexcuse moi, je suis un peu bouché, mais j'ai eu un partiel ya 2 heures, j'ai un seminaire la semaine prochaine, alors dur de me concentrer sur des &@#"" d'equa diff :-) mais je fai le maximum.

en fait (je crois que j'ai l'illumination) cela vient du fait qu'on peut faire varier les valeurs initiales comme on veut, donc forcement on peut parcourir $\R^n$. donc faut jouer la dessus. donc l'image reciproque de $e_i=(0,\dots,1,\dots,0)$ est la solution de l'equation avec les conditions initiales :

$$
 \begin{cases}
 y_1(x_0)=0\\
 y_2(x_0)=0\\
 \dots\\
 y_i(x_0)=1\\
 \dots\\
 y_n(x_0)=0
 \end{cases}
 $$


c'est bien ca ?? en tout cas, merci !! et puis, je crois aux miracles, mais ya une autre question dans le DM, mais l'enonce est tellement moche.. en plus j'ai fait du cross posting !! je suis vraiment un miserable :evil: :evil:

mais si tu as une idee pour la deuxieme question (enonce ici, je vais pas jouer l'innocent : http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/p ... 0&t=307530

si tu as ne serait ce qu'une idee, genre pour sauver l'honneur et dire que j'ai essayé...

merci mille fois !
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Messagepar guiguiche » Vendredi 21 Juillet 2006, 08:16

La méthode que tu décris sur l'autre forum est celle de la résolution de l'équation caractéristique.
Pour l'indépendance linéaire des fonctions, essai d'établir l'indépendance de leur image dans $\mathbb {R}^n$ via l'isomorphisme.
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Messagepar jobherzt » Vendredi 21 Juillet 2006, 08:41

ok, merci !
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