[L3]Equa diff non linéaire ordre 2

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[L3]Equa diff non linéaire ordre 2

Messagepar Maxinquaye » Mardi 14 Mai 2013, 22:48

Bonjour,

pour mon projet de licence générale je dois résoudre un système d'équation différentielle non linéaire d'ordre 2 qui décrivent le phénomène de synchronisation qui a lieu entre deux pendules (cliquer ici pour les intéressés).

Pour ce faire, je suis censé utiliser la méthode de Runge-Kutta 4, je ne l'ai jamais étudiée en cours mais d'après ce que j'ai lu sur internet ça n'a pas l'air extrêmement compliqué.

J'ai tout de même un problème : La première équation dépend de l'angle $\theta_1$ que fait le pendule du métronome 1 avec la verticale mais aussi de la dérivée seconde de l'angle $\theta_2$ que fait le pendule du métronome 2 avec la verticale (et inversement pour la deuxième équation). J'insère ici les deux équations pour plus de clarté :

$\frac{d^2 \theta _1}{d \tau ^2} + (1 + \Delta)sin( \theta _1) + \mu ( (\frac{ \theta _1}{\theta _0})^2 -1) \frac{d \theta_1}{d \tau} $
$- \Beta cos(\theta _1) \frac{d^2}{d \tau ^2}(sin(\theta _1) + sin(\theta _2)) = 0$

$\frac{d^2 \theta _2}{d \tau ^2} + (1 + \Delta)sin( \theta _2) + \mu ( (\frac{ \theta _2}{\theta _0})^2 -1) \frac{d \theta_2}{d \tau} $
$- \Beta cos(\theta _2) \frac{d^2}{d \tau ^2}(sin(\theta _1) + sin(\theta _2)) = 0$


(les équations ne tenaient pas sur une ligne).

Seul les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ sont variables, les autres thermes de l'équation sont des constantes qui prendrait beaucoup de temps à être définit ici.

J'ai peut être mal compris la méthode mais je ne vois pas comment il est possible de résoudre les équations sachant que chacune dépend de l'autre.

J'ai essayer d'exprimer $\frac{d^2 \theta _2}{d \tau ^2} $ à l'aide de la deuxième équation puis de remplacer dans la première mais je me retrouve avec une équation très indigeste après une bonne demi-heure de calcul (qui de plus est sans doute fausse) et sachant que je dois programmer la méthode après via Octave je voudrais savoir s'il n'existait pas une solution plus simple.

Voilà j'espère avoir été clair, un grand merci d'avance aux personnes qui se pencheront sur mon problème !
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Re: [L3]Equa diff non linéaire ordre 2

Messagepar bibi6 » Mercredi 15 Mai 2013, 08:11

Bonjour,

Le "truc" qui me vient à l'esprit est de poser $v = (\theta_1, \theta_2)$ et de regarder l'équation différentielle satisfaite par $v$. (On a peut-être besoin plutôt de regarder ce qui se passe pour $w = (\theta_1, \partial_\tau \theta_1, \theta_2, \partial_\tau \theta_2)$ ...)

L'idée est ainsi de se ramener à une équation du type $\partial v = f(x,v)$, qui se prête bien à Runge-Kutta...

Bon courage :wink:
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Re: [L3]Equa diff non linéaire ordre 2

Messagepar OG » Mercredi 15 Mai 2013, 09:59

Bonjour

Oui il faut écrire ce système sous la forme $X_\tau=F(\tau,X)$ avec $F$ à valeurs dans $\R^4$, $X=(\theta_1,(\theta_1)_\tau,\theta_2,(\theta_2)_\tau)$

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Re: [L3]Equa diff non linéaire ordre 2

Messagepar Maxinquaye » Mercredi 15 Mai 2013, 10:05

Ok merci pour vos réponses je vais essayer de voir ce que je peux faire avec ça, je reviendrais poser mes questions si j'en ai ;)
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Re: [L3]Equa diff non linéaire ordre 2

Messagepar Maxinquaye » Mercredi 15 Mai 2013, 15:57

En faîtes ça ne m'aide pas vraiment je ne vois vraiment pas comment mettre les équations sous cette forme. Un indice ?
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